원 (기하학): 두 판 사이의 차이
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== 용어 ==
{{여러 그림
|그림1=원_용어1.PNG
|
|설명1=반지름, 지름, 현, 호
|그림2=원_용어2_1.PNG
|alt2=원과 그 위의 활꼴, 부채꼴
|설명2=활꼴, 부채꼴
}}
원과 관련된 기본적인 용어들은 다음과 같다.
* '''[[반원]]''': 중심각이 [[평각]]인 부채꼴(활꼴)
* '''[[반지름]]''': 원의 중심과 그 원 위의 [[점]]을 양끝으로 하는 [[선분]] 또는 그 선분의 길이
* '''[[부채꼴]]''': 두 개의 반지름과 하나의 호로 둘러싸인 영역
* '''[[
* '''[[원판]]''': 원으로 둘러싸인 도형
* '''[[원환 (기하학)|원환]]''': 두 [[동심원]]으로 둘러싸인 도형
* '''[[접선]]''': 원과 한 점에서 만나는 직선
* '''[[중심 (기하학)|중심]]''': 원 위의 임의의 점에 이르는 거리가 일정한 그 원을 포함하는 평면 위의 점
* '''[[지름]]''': 원의 중심을 지나는 현 또는 그 현의 길이
* '''[[할선]]''': 원과 두 점에서 만나는 직선
* '''[[현 (기하학)|현]]''': 원 위의 두 점을 양끝으로 하는 선분
* '''[[호 (기하학)|호]]''': 원주의 연속된 일부
* '''[[활꼴]]''': 같은 끝점을 갖는 호와 현으로 둘러싸인 영역
=== 기타 ===
반지름이 1인 원을 [[단위원]]이라고 한다. 특별히 [[해석기하학]]에서는 [[원점]]을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 단위원이라고 한다.
중심이 같은 원을 [[동심원]]이라고 한다. 동심원을 한중심원이라고도 한다.
직교하는 두 지름으로 4등분된 원의 한 조각을 [[사분원]]이라고 한다.
== 역사 ==
[[기원전 5세기]]경 안티폰은 정다각형의 변 수를 계속 늘려가면 결국엔 원이 된다고 생각했다. 이에 15세기 독일의 신학자 [[쿠사의 니콜라우스|니콜라우스]]는 아무리 변을 늘려도 원이 될 수는 없다는 사상으로 반박했다.
==
=== 둘레와 넓이 ===
[[파일:원넓이.gif]]
* 반지름의 길이가 <math>r </math>인 원의 둘레는 <math>2\pi r\,</math>이다.
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* 원은 폐곡선 중에서 둘레에 대한 넓이의 비가 가장 크다.
===
[[파일:Circle center a b radius r.svg|섬네일|2차원 [[직교 좌표계]]에서 <math>(a,b)=(1.2, -0.5)</math>가 원의 중심이고 <math>r</math>이 반지름인 원]]
2차원 [[직교 좌표계]]에서 원의 중심이<math>(a\,,b\,)</math>이고 반지름이 <math>r\,</math>인 원의 방정식은
:<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r\,^2</math> 이고, 이를 '''원의 방정식'''이라고 부른다.
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* 원 <math>(x-a)^2+(y-b)^2=r\,^2</math>에 접하고 기울기가 <math>m</math>인 직선의 방정식은 <math>y\,-b=m\,(x\,-a)\pm r\sqrt{m^2+1}</math>이다.
=== 극방정식 ===
{{참고|극좌표계#원의 극좌표 방정식}}
[[극좌표계]]에서 원의 중심이 <math>(r_0\,, \varphi)</math>이고 [[반지름]]이 <math>a\,</math>인 원은
:<math>r^2 - 2 \cdot r \cdot r_0 \cdot \cos(\theta - \varphi) + {r_0}^2 = a^2</math> 이고, 이를 '''원의 극방정식''' 이라고 한다.
== 기하적 성질 ==
=== 내접원, 외접원, 방접원 ===
어떤 도형에 [[내접]]하는 원을 그 도형의 [[내접원]]이라 하고 내접원의 중심을 [[내심]]이라고 한다.
임의의 삼각형에 대하여 그 삼각형의 내접원은 유일하고 그 삼각형의 내심은 그 삼각형의 세 내[[각의 이등분선]]의 교점이다.
어떤 도형에 [[외접]]하는 원을 그 도형의 [[외접원]]이라 하고 외접원의 중심을 [[외심]]이라고 한다.
임의의 삼각형에 대하여 그 삼각형의 외접원은 유일하고 그 삼각형의 외심은 그 삼각형의 세 변의 [[수직이등분선]]의 교점이다.
어떤 도형에 [[방접]]하는 원을 그 도형의 [[방접원]]이라 하고 방접원의 중심을 [[방심]]이라고 한다.
임의의 삼각형에 대하여 그 삼각형의 방접원은 3개이고 그 삼각형의 방심은 그 삼각형의 한 내각의 이등분선과 그 삼각형의 그 각과 다른 한 내각의 외각의 이등분선의 교점이다.
=== 원과 직선의 위치 관계 ===
{{여러 그림
|그림1=교점2개.PNG
|설명1=<math> d < r\ </math>, 두 점에서 만날 경우
|그림2=교점1개.PNG
|설명2=<math> d = r\ </math>, 접할 경우
|그림3=교점0개.PNG
|설명3=<math> d > r\ </math>, 만나지 않을 경우
}}
원의 중심에서 직선까지의 거리(<math>d\,</math>)와 반지름(<math>r\,</math>)의 대소 관계에 따라 교점의 개수를 판단 할 수 있다.
원과 직선이 두 점에서 만날 경우 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이보다 작다
:<math> d < r\ </math>
원과 직선이 한 점에서 만날 경우, 접한다고 표현하며, 이 때 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 길이는 같다.
:<math> d = r\ </math>
원과 직선이 만나지 않을 경우 원의 중심에서 직선까지의 거리는 반지름의 길이보다 크다.
:<math> d > r\ </math>
=== 두 원의 위치 관계 ===
두 원의 반지름<math>(R\,,r\,)</math>과, 중심 사이의 거리<math>(d\,)</math>에 따라 두 원의 위치 관계를 판단 할 수 있다.
두 원이 두 점에서 만날 경우, 중심 사이의 거리는 두 반지름의 합보다는 작고, 두 반지름의 차보다는 크다.
:<math>\left| R\ - r \right| < d\, < R + r</math>
두 원이 한 점에서 만날 경우, 접한다고 표현하며, 두 원이 서로 외부에 있을 때 외접, 한 원이 다른 원의 내부에 있을 때 내접이라고 한다.
*
*:<math>R\,+r\,=d\,</math>
* 두 원이 내접할 경우, 두 반지름의 차는 중심 사이의 거리와 같다.
*:<math>\left| R\,- r \right| = d\,, (R\,\ne r\,)</math>
*
*:<math>\left| R\,- r \right| > d\,,(R\,\ne r\,)</math>
* 두 원이 서로 외부에 있을 경우, 두 반지름의 합은 중심 사이의 거리보다 작다.
*:<math>R\,+r\,<d\,</math>
=== 기타 성질 ===
* '''원주상의 한 점에서 원의 중심까지 잇는 선분과, 그 점의 접선은 수직이다.'''
[[파일:반지름과접선의각.PNG]]
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2. <math>a \cdot b=c^2</math>
:[[파일:현과비례2.PNG]]
== 문학 ==
* 에드윈 A. 애보트의 공상 수학 소설 《[[플랫랜드]]》에서는 원이 [[성직자]]로 출현하며, 평면도형들 중 가장 고귀한 계급으로 여겨진다.
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== 각주 ==
{{위키공용분류|Circles_geometry}}
{{
{{원뿔 곡선}}
{{전거 통제}}
[[분류:원 (기하학)| ]]
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