계수-퇴화차수 정리: 두 판 사이의 차이
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핵의 차원을 '''퇴화차수'''라고 한다. 이를 다음과 같이 표기하자.
:<math>\operatorname{nul}T=\dim\ker T</math>
그렇다면, '''계수-퇴화차수 정리'''를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.<ref name="Hoffman">{{서적 인용
|성=Hoffman |이름=Kenneth |제목=Linear Algebra |언어=en |판=2 |출판사=Prentice-Hall, |위치=Englewood Cliffs, New Jersey
|날짜=1971
|isbn=0-13-536797-2
}}</ref>{{rp|71}}
:<math>\operatorname{rank}T+\operatorname{nul}T=\dim V</math>
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사실, 계수-퇴화차수 정리는 [[벡터 공간]]의 [[제1 동형 정리]]
:<math>V/\ker T\cong\operatorname{im}T</math>
의 자명한 [[따름정리]]이다. 이를 의존하지 않는 한 가지 증명은 다음과 같다.<ref name="Hoffman" />{{
* <math>\{Tv_{r+1},Tv_{r+2},\dots,Tv_n\}</math>은 [[선형 독립]]이다.
** 증명: <math>a_{r+1}Tv_{r+1}+a_{r+2}Tv_{r+2}+\dots+a_nTv_n=0</math>이며 <math>a_{r+1},a_{r+2},\dots,a_n\in K</math>라고 하자. 선형 변환의 성질에 따라 <math>T(a_{r+1}v_{r+1}+a_{r+2}v_{r+2}+\cdots+a_nv_n)=0</math>이며, <math>\ker T</math>의 정의에 따라 <math>a_{r+1}v_{r+1}+a_{r+2}v_{r+2}+\cdots+a_nv_n\in\ker T</math>이다. <math>\{v_1,v_2,\dots,v_r\}</math>가 <math>\ker T</math>의 기저이므로, <math>a_{r+1}v_{r+1}+a_{r+2}v_{r+2}+\cdots+a_nv_n=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_rv_r</math>인 <math>a_1,a_2,\dots,a_r\in K</math>가 존재한다. 따라서, <math>a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_rv_r-a_{r+1}v_{r+1}-a_{r+2}v_{r+2}-\cdots-a_nv_n=0</math>인데, <math>\{v_1,v_2,\dots,v_n\}</math>이 <math>V</math>의 기저이므로, 선형 독립이다. 따라서 <math>a_1=a_2=\dots=a_n=0</math>이며, 특히 <math>a_{r+1}=a_{r+2}=\cdots=a_n=0</math>이다.
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