쉴로브 정리: 두 판 사이의 차이
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[[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌을 때, [[p-군|''p''-군]]은 모든 원소의 [[순환군|위수]]가 <math>p</math>의 거듭제곱인 [[군 (수학)|군]]이다. '''쉴로브 ''p''-부분군'''({{llang|en|Sylow ''p''-subgroup}})은 극대 ''p''-부분군이다. 즉, 군 <math>G</math>의 ''p''-부분군 <math>H</math>가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 ''p''-부분군이라고 한다.
* 임의의 ''p''-부분군 <math>K\subseteq G</math>에 대하여, 만약 <math>H\subseteq K</math>라면, <math>K\in\{H,G\}</math>이다.
쉴로브 ''p''-부분군의 집합을 <math>\operatorname{Syl}(p;G)</math>로 표기하자.
[[유한군]] <math>G</math>와 소수 <math>p</math>가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 <math>n\in\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>와 양의 정수 <math>m\in\mathbb Z^+</math>에 대하여
:<math>|G|=p^nm</math>
이며 <math>p</math>와 <math>m</math>이 [[서로소 (수론)|서로소]]라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>k\in\{0,\dots,n\}</math>에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.
* '''제1 쉴로브 정리'''({{llang|en|first Sylow theorem}}): 크기가 <math>p^
* '''제2 쉴로브 정리'''({{llang|en|second Sylow theorem}}):
* '''제3 쉴로브 정리'''({{llang|en|third Sylow theorem}}): 크기가 <math>p^k</math>인 <math>G</math>의
** <math>n(p^k;G)\equiv 1\pmod p</math>▼
** <math>n(p^n;G)\mid m</math>
** <math>n(p^n;G)=|G:\operatorname N_G(H)|</math>. (여기서 <math>\operatorname N_G(-)</math>는 [[정규화 부분군]]이다.)
* 임의의 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math> 및 ''p''-부분군 <math>K\subseteq G</math>에 대하여, <math>K\subseteq gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다.▼
▲** <math>n(p^k;G)\equiv 1\pmod p</math>
== 제1 정리의 증명 ==
줄 69 ⟶ 66:
== 제2 정리의 증명 ==
=== 왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명 ===
크기가 <math>|H|=p^n</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>를 취하자.
:<math>K\times G/H\to G/H</math>
:<math>(k,gH)\mapsto kgH\qquad(k\in K,\;g\in G)</math>
또한, <math>G/H</math>의 크기는 <math>p</math>와 서로소이므로, 궤도의 크기가 <math>p</math>와 서로소인 원소 <math>gH\in G/H</math>를 가지며, 이에 대한 안정자군은 <math>K</math> 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>K=K_{gH}=G_{gH}\cap K=gG_Hg^{-1}\cap K=gHg^{-1}\cap K\subseteq gHg^{-1}</math>
=== 이중 잉여류를 통한 증명 ===
크기가 <math>|H|=p^n</math>인 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>를 취하자.
:<math>K\backslash G/H=\{KgH\colon g\in G\}</math>
는 <math>G</math>의 [[집합의 분할|분할]]을 이루므로, 다음이 성립한다.
줄 87 ⟶ 83:
이다. 따라서,
:<math>K=K\cap gHg^{-1}\subseteq gHg^{-1}</math>
이 성립한다.
== 제3 정리의 증명 ==
줄 140 ⟶ 136:
가 성립한다.
== 응용 ==▼
▲=== 쉴로브 ''p''-부분군의 성질 ===
유한군 <math>G</math>가 주어졌다고 하자.
=== 연산에 대한 닫힘 ===
만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이며, <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.
* <math>H\cap N</math>은 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
* <math>HN/N</math>은 <math>G/N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
{{증명 시작}}
<math>K</math>가 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이라고 하자. 그렇다면 <math>K\subseteq gHg^{-1}</math>인 <math>g\in G</math>가 존재한다. 따라서
:<math>K\subseteq gHg^{-1}\cap N=g(H\cap N)g^{-1}</math>
이며,
:<math>|H\cap N|\ge|K|</math>
이다. <math>H\cap N</math>은 <math>N</math>의 ''p''-부분군이므로,
:<math>|H\cap N|=|K|</math>
이며, <math>H\cap N</math>은 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
두 번째 명제는
만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군, <math>K</math>가 <math>G</math>의 부분군이며, <math>\operatorname N_G(H)\subseteq K</math>라면, <math>\operatorname N_G(K)=K</math>이다. 특히, <math>\operatorname N_G(\operatorname N_G(H))=\operatorname N_G(H)</math>가 성립한다.▼
:<math>|HN/N|=\frac{|H|}{|H\cap N|}</math>
으로부터 유도된다.
{{증명 끝}}
=== 충분 조건 ===
만약 <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규 부분군이며, <math>H</math>가 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이라면, <math>G=N\operatorname N_G(H)</math>이다. 이를 [[프라티니 논증]]이라고 한다.▼
만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 ''p''-부분군이며, <math>H=\operatorname N_G(H)</math>라면, <math>H</math>는 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
{{증명 시작}}
<math>H</math>가 <math>H</math>의 켤레 부분군의 집합
:<math>H^G=\{gHg^{-1}\colon g\in G\}</math>
([[직접곱]] <math>H^{\times G}</math>과 다름에 주의하자) 위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.
:<math>H\times H^G\to H^G</math>
:<math>(h,gHg^{-1})\mapsto hgHg^{-1}h^{-1}\qquad(h\in H,\;g\in G)</math>
그렇다면, 각 궤도의 크기는 <math>|H|</math>의 약수이며, 특히 <math>p</math>의 거듭제곱이다.
:<math>g\in\operatorname N_G(H)=H</math>
이다. 즉, <math>gHg^{-1}=H</math>가 성립한다.
따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여
만약 <math>O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 교집합이라고 하면, <math>O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 극대 정규 ''p''-부분군이며, <math>G</math>의 모든 정규 ''p''-부분군을 포함한다. 또한 <math>O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 [[특성 부분군]]이다. 특히, 만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 정규 쉴로브 ''p''-부분군이라면, <math>H=O(p;G)</math>이며, 이는 <math>G</math>의 유일한 쉴로브 ''p''-부분군이다.▼
:<math>1\equiv|H^G|=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}=\frac{|G|}{|H|}\pmod p</math>
이며, 특히 <math>H</math>는 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다.
{{증명 끝}}
===
▲만약 <math>\operatorname O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 모든 쉴로브 ''p''-부분군의 교집합이라고 하면, <math>\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의
쉴로브 정리는 특수한 크기의 유한군의 구조를 이해하는 데 사용된다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. <math>p</math>와 <math>q</math>가 [[소수 (수학)|소수]]이며, <math>p<q</math>라고 하자.▼
{{증명 시작}}
우선, <math>\operatorname O(p;G)</math>가 <math>G</math>의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 ''p''-부분군 <math>H\subseteq G</math>에 대하여,
:<math>\operatorname O(p;G)=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}=\operatorname{Core}_G(H)</math>
가 <math>H</math>의 [[정규핵]]이기 때문이다.
▲
:<math>|NH|=\frac{|N||H|}{N\cap H}</math>
이므로 이는 ''p''-부분군이다. 따라서 <math>NH=H</math>이며, 특히 <math>N\subseteq H</math>이다.
이에 따라 <math>\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 유일한 극대 정규 ''p''-부분군이다. 극대 정규 ''p''-부분군은 [[자기 동형 사상]]에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 <math>\phi\in\operatorname{Aut}(G)</math>에 대하여, <math>\phi(\operatorname O(p;G))</math> 역시 <math>G</math>의 극대 정규 ''p''-부분군이며, 따라서 <math>\phi(\operatorname O(p;G))=\operatorname O(p;G)</math>이다. 즉, <math>\operatorname O(p;G)</math>는 <math>G</math>의 특성 부분군이다.
▲만약 <math>
:<math>n(p^n;G)=\frac{|G|}{|{\operatorname N_G(H)}|}=1</math>
이며, 따라서 <math>H=\operatorname O(p;G)</math>이다.
{{증명 끝}}
=== 프라티니 논증 ===
{{본문|프라티니 논증}}
▲만약 <math>N</math>이 <math>G</math>의 정규 부분군이며, <math>H</math>가 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이라면, <math>G=N\operatorname N_G(H)</math>이다. 이를 [[프라티니 논증]]이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 <math>H</math>가 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군, <math>K</math>가 <math>G</math>의 부분군이며, <math>\operatorname N_G(H)\subseteq K</math>라면, <math>\operatorname N_G(K)=K</math>이다. 특히, <math>\operatorname N_G(\operatorname N_G(H))=\operatorname N_G(H)</math>가 성립한다.
▲== 응용 ==
▲
* <math>p\nmid q-1</math>일 경우, 크기가 <math>pq</math>인 군은 [[순환군]]과 [[동형]]이다.
* <math>p\mid q-1</math>일 경우, 크기가 <math>pq</math>이며, [[아벨 군]]이 아닌 군들은 모두 서로 [[동형]]이다.
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