나선: 두 판 사이의 차이
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24번째 줄:
z(t) &{}= bt.
\end{align}</math>
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== Arc length, curvature and torsion ==
반지름이 ''a'' 인 원기둥에 기울기 ''b''/''a'' (or pitch 2''πb'') 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다.
: <math>t\mapsto (a\cos t, a\sin t, bt), t\in [0,T]</math>
나선 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같다.
<math>\mathbf{r}=a\cos t \mathbf{i}+a\sin t \mathbf{j}+ b t\mathbf{k}</math>
이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면
<math>\mathbf{v}=-a\sin t \mathbf{i}+a\cos t \mathbf{j}+ b \mathbf{k}</math>
<math>\mathbf{a}=-a\cos t \mathbf{i}-a\sin t \mathbf{j}+ 0\mathbf{k}</math>
이다. 속력과 가속도 크기를 구하면 아래와 같다.
<math>|\mathbf{v}|=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 + b^2}=\sqrt{a^2 +b^2}</math>
<math>|\mathbf{a}|=\sqrt{(-a\sin t )^2 +(a\cos t)^2 }=a</math>
호의 길이를 구하는 변수를 구하면
<math>s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{a^2 +b^2}d\tau=\sqrt{a^2 +b^2}t</math>
이다. 이제 변수 <math> s</math> 로 위치벡터를 다시 매개변수화하자.
<math>\mathbf{r}=a\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+a\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{bs}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}</math>
변수 <math> s</math> 에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면
<math>\frac{d \mathbf{r}}{d s}=\mathbf{T}=\frac{-a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{a}{\sqrt{a^2 +b^2} }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \mathbf{k}</math>
<math>\frac{d \mathbf{T}}{d s}=\kappa \mathbf{N}=\frac{-a}{a^2 +b^2 }\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}+\frac{-a}{a^2 +b^2} \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}</math>
이다. 따라서 나선의 곡률은 <math>\bigg|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\bigg|=\kappa=\frac{a}{a^2 +b^2 }</math>이다.
단위 법선벡터를 구하면
<math>\mathbf{N}=-\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} } \mathbf{i}- \sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2} }\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}</math>
이므로 이중법선벡터는 아래와 같다.
<math>\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}=\frac{1}{\sqrt{a^2 +b^2 }}\bigg[ b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} - b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ a \mathbf{k}\bigg]</math>
이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.
<math>\frac{d\mathbf{B}}{ds}=\frac{1}{a^2 +b^2}\bigg[ b\cos \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{i} + b\sin \frac{s}{\sqrt{a^2 +b^2}}\mathbf{j}+ 0 \mathbf{k}\bigg]</math>
비틀림은 <math>\tau=\bigg| \frac{d\mathbf{B}}{ds} \bigg|=\frac{b}{a^2 +b^2}</math>이다.
이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.
== 각주 ==
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