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나선 (cos t, sin t, t)

나선(螺旋, 문화어: 라선)은 3차원 공간의 곡선과 같이, 매끄러운 곡선의 일종이다. 이는 물체의 겉모양이 빙빙 비틀린 형태를 지닌다. 나선의 영어 낱말 helix(헬릭스)는 "꺾인, 굽은"을 뜻하는 그리스어 낱말 ἕλιξ에서 왔다.[1]

수학편집

3차원 공간 곡선으로서의 나선:

 

원통좌표계 (r, θ, h):

 

원 나선(반지름 a, 2πb):

 


호의 길이, 곡률과 비틀림(Arc length, curvature and torsion)편집

반지름이 a 인 원기둥에 기울기 b/a (or pitch 2πb) 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다.

 

나선 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같다.

 

이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면

 

 

이다. 속력과 가속도 크기를 구하면 아래와 같다.

 

 

호의 길이를 구하는 변수를 구하면

 

이다. 이제 변수   로 위치벡터를 다시 매개변수화하자.

 

변수   에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면

 

 

이다. 따라서 나선의 곡률은  이다.

단위 법선벡터를 구하면

 

이므로 이중법선벡터는 아래와 같다.

 

이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.

 

비틀림은  이다.

이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.


참고 공간 곡선 운동에 관하여 [2]

각주편집

  1. ἕλιξ, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
  2. [1]공간 곡선 운동에 관하여