디리클레 함수: 두 판 사이의 차이
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[[수학]]에서, '''디리클레 함수'''({{llang|en|Dirichlet function}})는 [[실수]] 집합 위에 정의된 [[유리수]] [[지시 함수]]이다
== 정의 ==
'''디리클레 함수''' <math>1_\mathbb Q\colon\mathbb R\to\
:<math>1_\mathbb Q(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\begin{cases}
1 & x\in\mathbb Q \\
29번째 줄:
== 성질 ==
=== 주기성 ===
디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 모든 [[유리수]]를 주기로 갖는 [[주기 함수]]이며, 이에 따라
{{증명}}
임의의 <math>t\in\mathbb Q</math> 및 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>1_{\mathbb Q}(x+t)=1_{\mathbb Q}(x)</math>임을 보이면 된다. 만약 <math>x\in\mathbb Q</math>라면, <math>x+t\in\mathbb Q</math>이므로,
:<math>1_{\mathbb Q}(x+t)=1=1_{\mathbb Q}(x)</math>
이다. 만약 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>라면, <math>x+t\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>이므로,
:<math>1_{\mathbb Q}(x+t)=0=1_{\mathbb Q}(x)</math>
이다.
이제, [[귀류법]]을 사용하여, <math>t_0\in\mathbb Q^+</math>가 <math>1_{\mathbb Q}</math>의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, <math>\textstyle\frac{t_0}2\in\mathbb Q^+</math> 역시 <math>1_{\mathbb Q}</math>의 양의 주기이며, <math>\textstyle\frac{t_0}2<t_0</math>
{{증명 끝}}
61번째 줄:
{{증명}}
임의의 닫힌구간 <math>[a,b]</math> 및 임의의 분할
:<math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}\qquad(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b
에 대하여, 각 소구간 <math>[x_{i-1},x_i]</math>은 [[유리수]]와 [[무리수]]를 원소로 포함하므로,
:<math>\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)=1</math>
73번째 줄:
이다.
[[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 [[가산 집합]]이므로, [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위의 [[보렐 집합]]이며, 특히 [[르베그 가측 집합]]이다. 따라서
:<math>\int 1_{\mathbb Q}d\mu=\mu(\mathbb Q)=0</math>
이다. 이에 따라 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 [[르베그 적분]] 가능하다.
{{증명 끝}}
== 역사 ==
[[독일]]의 수학자 [[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 1829년에 제시하였다.<ref>Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], ''Journal für reine und angewandte Mathematik'' [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169.</ref>
== 같이 보기 ==
* [[토메 함수]]
== 각주 ==
줄 89 ⟶ 92:
[[분류:특수 함수]]
[[분류:
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