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함수의 합성: 두 판 사이의 차이

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1번째 줄:
[[파일:Compfun.svg|300px|섬네일|함수 <math>g\circ f</math>. 예를 들어 <math>(g\circ f)(c)={\#}</math>이다.]]
[[수학]]에서, '''함수의 합성'''(函數의合成, {{llang|en|function composition}})은 또는 '''합성 함수'''(合成函數, {{llang|en|composite function}})는 한 함수의[[함수]]의 [[공역 (수학)|공역]]이 다른 함수의 [[정의역]]과 일치하는 경우, 두 함수를 이어 하나의 함수로 만드는 연산이다.
이렇게 얻어진 함수를 '''합성 함수'''(合成函數, {{llang|en|composite function}})라고 한다.
 
== 정의 ==
줄 9 ⟶ 8:
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 이 두 함수의 '''합성''' <math>g\circ f</math>는 다음과 같은 함수이다.
:<math>g\circ f\colon X\to Z</math>
:<math>g\circ f\colon x\in X\mapsto g(f(x))</math>
함수의 합성 <math>g\circ f</math>가 정의되려면, <math>f</math>의 [[정의역공역 (수학)|공역]]이 <math>g</math>의 [[공역|정의역]]과 일치하여야 한다.
 
합성함수<math>g\circ f</math>는 "지 써클 에프" 또는 "지 합성 에프"로 읽는다.
 
== 성질 ==
줄 22 ⟶ 19:
:<math>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\colon X\to W</math>
이다. 이에 따라, ([[항등 함수]]의 존재를 추가하면) 집합과 함수들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이루는 것을 알 수 있다.
{{증명}}
임의의 <math>x\in X</math>에 대하여
:<math> (h\circ(g\circ f ))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x)) )=(h\neqcirc f(g)(f(x)) = f ((h\circ g)\circ f)(x)</math>▼
이므로
:<math>h\circ(g\circ f )=(h\neq fcirc g)\circ gf</math>▼
이다.
{{증명 끝}}
임의의 집합 <math>X</math> 및 이를 [[정의역]]과 [[공역 (수학)|공역]]으로 하는 두 함수 <math>f,g\colon X\to X</math>가 주어졌을 때, 두 가지 순서의 합성 <math>g\circ f</math>, <math>f\circ g</math>을 정의할 수 있다. 이 경우 [[교환 법칙]]은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, <math>X=\mathbb R</math>가 [[실수체]]이고,
:<math>f\colon Xx\tomapsto Yx+1</math>▼
:<math>g\colon Yx\tomapsto Zx^2</math>▼
라고 하면,
:<math>g\circ f\colon Xx\to Ymapsto(x+1)^2</math>▼
:<math>f\circ g\colon Yx\tomapsto Zx^2+1</math>일때,▼
이며,
:<math>(g\circ f)(1)=4\ne 2=(f\circ g)(1)</math>
이므로 <math>g\circ f\ne f\circ g</math>이다.
 
또한,
▲:<math>f\colon X\to Y</math>
▲:<math>g\colon Y\to Z</math>일때,
▲:<math>g\circ f \neq f \circ g</math>
▲:<math> g\circ f = g(f(x)) \neq f(g(x)) = f \circ g</math>
이다. 따라서, [[교환법칙]]은 성립하지 않는다.
 
==치환군==
따라서 다음과 같은 [[전단사함수]] <math>g\circ f </math>는 [[치환군]] S<sub>5</sub> <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 \\ 5 & 3 & 1 & 2\end{pmatrix}</math><math>\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 5& 2 & 4\end{pmatrix}</math>의 곱으로 표현할수있다.
▲:<math>f\colon X\to Y</math>
▲:<math>g\colon Y\to Z</math>
:<math>X = {1,2,3,4,5}</math>
:<math> Y = {1,3,5,2,4}</math>
:<math> Z = {5,1,2,3,4} </math>
== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Composition|title=Composition}}
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/함수의_합성"