누적 분포 함수: 두 판 사이의 차이
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== 성질 ==
=== 함수로서의 성질 ===
임의의 함수 <math>F\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>F</math>는 어떤 [[확률 변수]]의 누적 분포 함수이다.
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** <math>F(\infty,\dots,\infty)=1</math>
=== 확률 분포와의 관계 ===
[[확률 변수]] 또는 [[확률 벡터]]의 누적 분포 함수는 그 [[확률 분포]]를 유일하게 결정한다. 이는 누적 분포 함수에 대한 [[르베그-스틸티어스 측도]]와 일치한다. 그러나 누적 분포 함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.
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:<math>\operatorname{Pr}(X_1=x_1,\dots,X_n=x_n)=\lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{t\in\{x_1-\epsilon,x_1\}\times\cdots\times\{x_n-\epsilon,x_n\}}(-1)^{|\{i\colon t_i=x_i-\epsilon\}|}F_X(t)</math>
===
[[파일:Discrete probability distribution illustration.png|섬네일|이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적 분포 함수]]
[[확률 변수]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[이산 확률 변수]]이다. (즉, <math>\operatorname{Pr}(X\in A)=1</math>인 [[가산 집합]] <math>A\in\mathcal B(\mathbb R)</math>이 존재한다.)
* <math>\textstyle\sum_{x\in\mathbb R}\left(F_X(x)-\lim_{y\to x^-}F_X(y)\right)=1</math>
특히, [[계단 함수]]를 누적 분포 함수로 하는 [[확률 변수]]는 [[이산 확률 변수]]이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.
[[확률 변수]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
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[[확률 변수]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[절대 연속 확률 변수]]이다. (즉,
* <math>F_X</math>는 임의의 [[닫힌구간]]에서 [[절대 연속 함수]]이다.
[[확률 변수]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 [[특이 확률 변수]]이다. (즉, 확률 분포 <math>\operatorname{Pr}(X\in
* 르베그 [[거의 어디서나]] <math>F_X'=0</math>이다.
임의의 누적 분포 함수 <math>F</math>는 이산 누적 분포 함수 <math>F_{\operatorname{disc}}</math>와 절대 연속 누적 분포 함수 <math>F_{\operatorname{a.c.}}</math>, 특이 연속 누적 분포 함수 <math>F_{\operatorname{s.c.}}</math>의 음이 아닌 계수의 [[아핀 결합]]으로 나타낼 수 있다.
[[확률 벡터]] <math>X=(X_1,\dots,X_n)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.▼
:<math>F=cF_{\operatorname{disc}}+c'F_{\operatorname{a.c.}}+c''F_{\operatorname{s.c.}}</math>
* <math>X_1,\dots,X_n</math>은 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이다.▼
:<math>c,c',c''\ge 0</math>
* 임의의 <math>x_1,\dots,x_n\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>F_X(x_1,\dots,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdots F_{X_n}(x_n)</math>▼
:<math>c+c'+c''=1</math>
=== 독립성과의 관계 ===
▲같은 [[확률 공간]] 위의 [[확률 변수]] 또는 [[확률 벡터]]들의 집합 <math>
▲* 임의의 서로 다른 <math>
{{증명}}
첫 번째 조건은 두 번째 조건을 자명하게 함의한다. 이제 두 번째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 증명하자. 유한 개의 확률 변수
:<math>\mathcal X=\{X_1,\dots,X_n\}</math>
:<math>X_i\colon(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>
의 경우의 증명은 다음과 같다. 일반적인 경우는 이와 유사하게 증명할 수 있다.
:<math>\mathcal C=\{(-\infty,x]\colon x\in\mathbb R\}</math>
라고 하자. 그렇다면 <math>\mathcal C</math>는 [[π계]]를 이루며, <math>\mathcal B(\mathbb R)</math>는 <math>\mathcal C</math>를 포함하는 최소의 [[시그마 대수]]이다. 다음과 같은 집합을 생각하자.
:<math>\mathcal L_n=\{B_n\in\mathcal B(\mathbb R)|\forall B_1,\dots,B_{n-1}\in\mathcal C\colon\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)\}</math>
그렇다면, 가정한 조건에 따라 <math>\mathcal C\subseteq\mathcal L_n</math>이다. 또한, <math>\mathcal L_n</math>은 [[λ계]]를 이룸을 보일 수 있다. [[딘킨 π-λ 정리]]에 따라, <math>\mathcal L_n=\mathcal B(\mathbb R)</math>이다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.
:<math>\mathcal L_{n-1}=\{B_{n-1}\in\mathcal B(\mathbb R)|\forall B_1,\dots,B_{n-2}\in\mathcal C,B_n\in\mathcal B(\mathbb R)\colon\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)\}</math>
그렇다면, <math>\mathcal L_n=\mathcal B(\mathbb R)</math>이므로 <math>\mathcal C\subseteq\mathcal L_{n-1}</math>이며, <math>\mathcal L_{n-1}</math>은 [[λ계]]를 이룬다. 따라서 <math>\mathcal L_{n-1}=\mathcal B(\mathbb R)</math>이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 임의의 <math>B_1,\dots,B_n\in\mathcal B(\mathbb R)</math> (<math>i=1,\dots,n</math>)에 대하여,
:<math>\operatorname{Pr}(X_1\in B_1,\dots,X_n\in B_n)=\operatorname{Pr}(X_1\in B_1)\cdots\operatorname{Pr}(X_n\in B_n)</math>
이라는 사실을 얻는다. 즉, <math>\{X_1,\dots,X_n\}</math>은 서로 [[독립 (확률론)|독립]]이다.
{{증명 끝}}
== 참고 문헌 ==
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