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외접원: 두 판 사이의 차이

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[[파일:Triangle.Circumcenter.svg|섬네일|삼각형의 외접원과 외심]]
'''외접원'''(外接圓)이란, 어떤 [[2차원]] [[다각형]]에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 [[원 (기하학)|원]]을 뜻한다. 그 원의 중심은 '''외심'''이라한다
[[기하학]]에서, '''외접원'''(外接圓, {{llang|en|circumscribed circle, circumcircle}})은 주어진 [[다각형]]의 모든 꼭짓점을 지나는 [[원 (기하학)|원]]이다. '''외심'''(外心, {{llang|en|circumcenter}})은 외접원의 중심을 일컫는다. 모든 [[삼각형]]과 [[정다각형]]은 외접원을 갖는다. 그러나 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.
 
== 정의 ==
일반적으로 모든 삼각형과 정다각형들에는 외접원이 존재하지만, 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.
[[다각형]]의 모든 꼭짓점을 지나는 [[원 (기하학)|원]]이 존재한다면, 이 원을 이 다각형의 '''외접원'''이라고 한다. 다각형의 외접원의 중심을 이 다각형의 '''외심'''이라고 한다. 외접원을 갖는 (볼록) 다각형을 '''내접 다각형'''(內接多角形, {{llang|en|cyclic polygon, inscribed polygon}})이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 (볼록) [[사각형]]을 '''[[내접 사각형]]'''이라고 한다.
 
== 삼각형의 외접원성질 ==
다각형이 외접원을 갖는다면, 그 외심은 모든 변의 [[수직 이등분선]]의 교점이며, 외심과 다각형의 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름이므로 모두 같다.
모든 [[삼각형]]에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 [[수직이등분선]]의 교점이다.
그리고 삼각형의 각 꼭짓점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.
 
모든 삼각형과 [[정다각형]]은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.
[[파일:Triangle.Circumcenter.png|right|frame|[[삼각형]]의 각 변의 [[수직이등분선]]의 교점은 외접원의 [[중심 (기하학)|중심]]에서 만난다.]]
이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 한두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 [[수선]]이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.
 
==== 외접원과예각·직각·둔각 삼각형의 넓이외심 ====▼
=== 외심의 위치 ===
{{Scalable image|Cercle circonscrit à un triangle.svg|9999px|예각, 직각, 둔각 삼각형의 외심||none}}
* [[직각삼각형]]의 외심은 빗변의 중심에 위치한다.
[[예각 삼각형]]의 외심은 삼각형의 내부에 속한다. [[직각 삼각형]]의 외심은 빗변의 [[중점 (기하학)|중점]]이다. [[둔각 삼각형]]의 외심은 삼각형의 외부에 속한다.
* [[둔각삼각형]]의 외심은 삼각형 외부에 위치한다.
* [[예각삼각형]]의 외심은 삼각형의 내부에 위치한다.
[[파일:Cercle circonscrit à un triangle.svg|600px]]
 
=== 외접원과 외심의 성질반지름 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 외접원의 반지름을 <math>R</math>라고 하고, 세 변의 길이를 <math>a=BC</math>, <math>b=CA</math>, <math>c=AB</math>라고 하자. 그렇다면 다음 등식들이 성립한다 ([[사인 법칙]]).
* 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
:<math>\frac {a}{\sin {A}}=\frac {b}{\sin {B}}=\frac {c}{\sin {C}}=2R</math>▼
*외접원의 중심이다.
* 삼각형의 외심, [[무게중심]], [[수심]], [[구점원]]의 중심은 한 직선 위에 있다. ([[오일러 직선]] 참고)
*직각삼각형의 경우, 외심은 빗변의 중점에 위치한다
 
삼각형의 넓이를 <math>S</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
==== 사인 법칙 ====
:<math>S=\frac {abc}{4R}</math>▼
{{본문|사인 법칙}}
{{증명}}
삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각 <math>a, b, c, A, B, C</math>라 하고, 외접원의 반지름 길이를 <math>R</math>이라 할 때,
삼각형의 넓이는 한 변의 길이 <math>a</math>와 그 변 위의 높이 <math>b\sin C</math>의 곱의 1/2이므로, 사인 법칙에 따라
▲<math>\frac {a}{\sin {A}}=\frac {b}{\sin {B}}=\frac {c}{\sin {C}}=2R</math>
:<math>S=\frac 12ab\sin C=\frac 12ab\cdot\frac c{2R}=\frac{abc}{4R}</math>
이 성립한다.
이다.
{{증명 끝}}
 
삼각형의 [[내접원]]의 반지름을 <math>r</math>라고 하자. 그렇다면 외심 <math>O</math>와 내심 <math>I</math> 사이의 거리는 다음과 같다 ([[오일러 삼각형 정리]]).
▲==== 외접원과 삼각형의 넓이 ====
:<math>OI=\sqrt{R^2-2Rr}</math>
 
특히 다음 부등식이 성립한다 ([[오일러 부등식]]).
삼각형 <math>\mathrm {ABC}</math>의 세 변의 길이를 <math>a, b, c</math>라 하고, 외접원의 반지름 길이를 <math>R</math>이라 할 때, 삼각형의 넓이 <math>S</math>는
:<math>R\ge 2r</math>
 
==== 오일러 삼각형직선 정리 ====▼
<math>S=\frac {abc}{4R}</math>이 성립한다.
삼각형의 외심, [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]], [[수심 (기하학)|수심]], [[구점원]]의 중심은 한 직선 위의 점이며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 [[오일러 직선]]이라고 한다.
 
=== 포물선과의 관계 ===
증명은 다음과 같다.
삼각형의 모든 내접 [[포물선]]의 [[초점 (기하학)|초점]]은 외접원 위의 점이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|47, §5.5}} 특히 삼각형의 키페르트 포물선({{llang|en|Kiepert’s parabola}})의 초점은 외접원 위의 점이다. 이는 초등 기하학의 방법을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.
{{증명}}
내접 포물선의 초점 <math>F</math>가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 <math>F</math>를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 ([[심슨 직선]]). 따라서 초점 <math>F</math>를 지나는, 포물선 위 임의의 점 <math>P</math>에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 <math>V</math>에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.
 
점 <math>P</math> 또는 초점 <math>F</math>를 지나는 [[준선]]의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>라고 하고, 꼭짓점 <math>V</math>에서의 접선과 <math>DF</math>의 교점을 <math>M</math>이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 <math>V</math>는 선분 <math>EF</math>의 중점이며, <math>VM</math>과 <math>DE</math>는 평행하므로 <math>M</math>은 선분 <math>DF</math>의 중점이다. <math>PD=PF</math>이므로 <math>PM</math>은 <math>DF</math>의 수선이자 <math>\angle DPF</math>의 이등분선이다. 이에 따라 광선 <math>FP</math>가 직선 <math>PM</math>에 반사된 광선은 <math>DP</math>의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 <math>FP</math>가 포물선에 반사된 광선은 <math>DP</math>의 연장선이므로, <math>PM</math>은 포물선의 <math>P</math>에서의 접선이다.
<math>S=\frac {1}{2}ab\sin {C}</math>(삼각형의 넓이)
{{증명 끝}}
<math>\sin {C}=\frac {c}{2R}</math>([[사인 법칙]])
따라서,
▲ <math>S=\frac {abc}{4R}</math>
 
==== 우산내접 정리사각형 ====
{{본문|우산내접 정리사각형}}
(볼록) 사각형 <math>ABCD</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
삼각형 <math>\mathrm {ABC}</math>와 그 외접원 위의 점 <math>\mathrm D</math>, <math>\mathrm {BC}</math>위의 점 <math>\mathrm E</math>에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면 <math>\overline {\mathrm {AB}} \times \overline {\mathrm {AC}}=\overline {\mathrm {AD}} \times \overline {\mathrm {AE}}</math>이다.
* [[내접 사각형]]이다.
* <math>\mathrm D</math>, <math>\mathrm E</math>는 각 <math>\mathrm A</math>의 이등분선 위의 점이다.
* <math>\mathrm(두 A</math>,대각의 <math>\mathrm D</math>,합은 <math>180^\mathrm Ecirc</math>는 한 직선 위에 있으며) <math>\mathrmangle {BAD+\overlineangle {AB}BCD=180^\overline {AC}}circ</math>이다.
* ([[원주각]]) <math>\angle \mathrm {ACB} = \angle \mathrm {ADB}</math>(원주각)▼
* <math>\overline {\mathrm {AD}}</math>는 외심을 지나며 <math>\overline {\mathrm {AE}}</math>는 <math>\overline {\mathrm {BC}}</math>와 수직이다.
* ([[방멱 정리]]) 두 대각선 <math>AC</math>, <math>BD</math>의 교점을 <math>E</math>라고 할 때, <math>EA\cdot EC=EB\cdot ED</math>
* ([[프톨레마이오스 정리]]) <math>AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD</math>
 
== 각주 ==
▲==== 오일러 삼각형 정리 ====
{{각주}}
{{본문|오일러 삼각형 정리}}
외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는 <math>\sqrt{R^2-2Rr}</math>이다.
 
==== 오일러의외부 부등식링크 ====
* {{매스월드|id=Circumcircle|제목=Circumcircle}}
{{본문|오일러의 부등식}}
* {{매스월드|id=Circumcenter|제목=Circumcenter}}
외접원과 내접원의 반지름 <math>R</math>, <math>r</math>에 대해 <math>R</math>은 <math>2r</math>보다 같거나 크다.
* {{매스월드|id=Circumradius|제목=Circumradius}}
 
== 사각형의 외접원 ==
[[사각형]] <math>\mathrm {ABCD}</math>에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.
* <math>\angle \mathrm {BAD} + \angle \mathrm {BCD} = 180^\circ</math>(대각)
▲* <math>\angle \mathrm {ACB} = \angle \mathrm {ADB}</math>(원주각)
* <math>\overline {\mathrm {AC}}</math>와 <math>\overline {\mathrm {BD}}</math>의 교점이 <math>\mathrm E</math>일 때, <math>\overline {\mathrm {AE}} \times \overline {\mathrm {EC}}=\overline {\mathrm {BE}} \times \overline {\mathrm {ED}}</math>([[방멱]])
* <math>\overline {\mathrm {AB}} \times \overline {\mathrm {CD}}+\overline {\mathrm {AD}} \times \overline {\mathrm {BC}}=\overline {\mathrm {AC}} \times \overline {\mathrm {BD}}</math>([[톨레미의 정리]])
 
{{오심}}
 
[[분류:삼각 기하학]]▼
[[분류:다각형]]
▲[[분류:삼각 기하학]]
[[분류:원 (기하학)]]
[[분류:컴퍼스와 자 작도]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/외접원"