외접원: 두 판 사이의 차이
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* ([[프톨레마이오스 정리]]) <math>AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD</math>
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삼각형 <math>ABC</math> 및 직선 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 주어졌다고 하자. '''미켈 정리'''({{llang|en|Miquel theorem}})에 따르면, 삼각형 <math>AEF</math>, <math>BFD</math>, <math>CDE</math>의 외접원은 한 점 <math>P</math>에서 만난다. 이 경우 점 <math>P</math>를 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>의 '''미켈 점'''({{llang|en|Miquel point}})이라고 한다. 만약 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 한 직선 위의 점이 아닐 경우, 삼각형 <math>DEF</math>를 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 한 '''미켈 삼각형'''({{llang|en|Miquel triangle}})이라고 한다.
{{증명}}
편의상 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점이며, 삼각형 <math>AEF</math>, <math>BFD</math>의 외접원의 다른 한 교점 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 <math>AEPF</math>, </math>BDPF</math>는 내접 사각형이므로
:<math>\angle CEP=\angle AFP=\angle BDP</math>
이다. 따라서 사각형 <math>CDPE</math> 역시 내접 사각형이다.
{{증명 끝}}
네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원은 한 점에서 만난다. 이는 미켈 정리에서 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 한 직선 위의 점인 특수한 경우이다.
삼각형 <math>ABC</math> 및 직선 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math> 및 점 <math>P</math>에 대하여, 삼각형 <math>DEF</math>가 점 <math>P</math>의 미켈 삼각형일 필요 충분 조건은 [[유향각]] <math>\angle PFA</math>, <math>\angle PDB</math>, <math>\angle PEC</math>의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. [[수족 삼각형]]은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.
삼각형 <math>ABC</math> 및 직선 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math> 및 미켈 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Johnson" />{{rp|133, §VII.186}}
:<math>\angle BPC=\angle BAC+\angle EDF</math>
:<math>\angle CPA=\angle CBA+\angle FED</math>
:<math>\angle APB=\angle ACB+\angle DFE</math>
여기서 모든 각도는 유향각이다.
{{증명}}
편의상 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>가 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math> 위의 점이며, 삼각형 <math>AEF</math>, <math>BFD</math>의 외접원의 다른 한 교점 <math>P</math>가 삼각형 <math>ABC</math>의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 <math>BDPF</math>, <math>CDPE</math>는 내접 사각형이므로
:<math>\angle BPC=\angle BPD+\angle DPC=\angle BFD+\angle DEC=\angle BAC+\angle EDF</math>
이다.
{{증명 끝}}
주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 [[닮음 (기하학)|닮음]]이다. 구체적으로, 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 모든 미켈 삼각형은 <math>P</math>를 [[고정점]]으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.<ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>{{rp|134, §VII.188}}
{{증명}}
위 등식에 따라 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 미켈 삼각형 <math>DEF</math>의 세 내각의 크기
:<math>\angle EDF=\angle BPC-\angle BAC</math>
:<math>\angle FED=\angle CPA-\angle CBA</math>
:<math>\angle DFE=\angle APB-\angle ACB</math>
는 미켈 삼각형 <math>DEF</math>의 선택과 무관하므로, 모든 미켈 삼각형은 (방향 보존 닮음 변환에 대하여) 닮음이다. 또한
:<math>\angle PDE=\angle PCA</math>
:<math>\angle PEF=\angle PAB</math>
:<math>\angle PFD=\angle PBC</math>
역시 미켈 삼각형의 선택과 무관하므로, 닮음 변환은 <math>P</math>를 고정점으로 갖는다.
{{증명 끝}}
=== 외접원 위의 점 ===
삼각형의 모든 내접 [[포물선]]의 [[초점 (기하학)|초점]]은 외접원 위의 점이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
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* {{매스월드|id=Circumcenter|제목=Circumcenter}}
* {{매스월드|id=Circumradius|제목=Circumradius}}
* {{매스월드|id=MiquelsTheorem|제목=Miquel’s theorem}}
* {{매스월드|id=MiquelPoint|제목=Miquel point}}
* {{매스월드|id=MiquelTriangle|제목=Miquel triangle}}
* {{매스월드|id=MiquelCircles|제목=Miquel circles}}
{{오심}}
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