|
==근과 계수와의 관계==
<math>ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\ne0)</math>의 세 근을 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>라 하면 다음과 같은 관계가 성립한다.
:<math>\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}</math>
:<math>\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}</math>
:<math>\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}</math>
<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>의 3근 을 각각 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>라고 정의하고
:<math>\alpha, \beta , \gamma</math>를 근으로 갖는 3차방정식을 <math>(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0</math>이라 한 후
이 3차방정식 앞에 계수 <math>a</math>(단,<math>a</math>는 <math>0</math>이 아니다)를 예약하면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)
<math>ax^3+bx^2+cx+d=0 \iff a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0</math>
(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)
먼저 두 번째 3차방정식인 <math>a(x- \alpha)(x- \beta)(x-\gamma)=0</math>를 나누고 전개해주면
<math>x^3 +(- \alpha - \beta -\gamma)x^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma)x - \alpha \beta \gamma </math> - ⓐ
또한, 첫 번째 3차방정식인 <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> 또한 두 번째 3차방정식을 전개할 때와 마찬가지로
최고차항 <math>ax^3</math>의 계수 <math>a</math>로 나눠주면
<math>x^3+{{b}\over{a}}x^2+{{c}\over{a}}x+{{d}\over{a}}=0</math> - ⓑ
ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서
:<math>\alpha+\beta+\gamma=-{{b}\over{a}}</math>
:<math>\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha={{c}\over{a}}</math>
:<math>\alpha\beta\gamma=-{{d}\over{a}}</math>
===근의 개수===
삼차방정식에서 실근은 '서로 다른 실근 3개', '서로 다른 실근 2개 (하나는 이중근)', '실근 하나'와 같은 경우가 존재한다. 여기서 근의 개수가 몇 개인지를 알아보고자 할 때, 삼차방정식을 미분하여 생긴 이차방정식을 분석함으로써 이를 알아낼 수 있다.
==카르다노의 해법==
일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져 있다. <!-- <s>원래는 타르탈리아(본명은 '폰타나')가 발견했다.</s> -->
: <math>a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math><math>(a_3 \ne 0)</math>
| 