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독립 (확률론): 두 판 사이의 차이

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1번째 줄:
[[확률론]]에서, 두 [[확률공간확률 공간|사건]]이 '''독립'''(獨立, {{llang|en|independent}})이라는 것은, 둘 중 하나의한 사건이 일어날 [[확률]]이 다른 사건이 일어날 [[확률]]에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나올나오는 확률에사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다.
 
== 정의 ==
=== 독립 사건 집합 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 위의 [[확률공간|사건]]들의사건들의 집합 <math>\mathcal S\subset\mathcal F</math>에 대하여, 만약 모든 [[유한 집합]] <math>\{S_1,\dots,S_n\}\subset\mathcal S</math>에 대하여
:<math>\Pr(S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_n)=\Pr(S_1)\Pr(S_2)\cdots\Pr(S_n)</math>
이라면, <math>\mathcal S</math>가 서로 '''독립'''이라고 한다.
 
=== 독립 사건 시그마 대수 집합 ===
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 위의, <math>\mathcal F</math>의 부분 [[시그마 대수]]들의 집합 <math>\mathfrak G\subset\mathcal P(\mathcal F)</math>이 다음 성질을 만족시킬 경우, <math>\mathfrak G</math>가 서로 '''독립'''이라고 한다.
* 모든 [[유한 집합]] <math>\{\mathcal G_1,\dots,\mathcal G_n\}\subset\mathfrak G</math> 및 <math>S_i\in\mathcal G_i</math> (<math>i=1,\dots,n</math>)에 대하여,
:*:<math>\Pr\left(S_1\bigcap_{i=1}^nS_icap S_2\rightcap\cdots\cap S_n)=\prodPr(S_1)\Pr(S_2)\cdots\Pr(S_iS_n)</math>
 
사건의 집합 <math>\mathcal S\in\mathcal F</math>에 대하여, 다음 두 명제가 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathcal S</math>는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
* <math>\{\sigma(S)|S\in\mathcal S\}</math>는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서 <math>\sigma(S)=\{\varnothing,S,\Omega\setminus S,\Omega\}</math>는 <math>S</math>를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.
 
=== 독립 확률 변수 집합 ===
같은 확률공간확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) [[확률 변수]]의 집합
:<math>X_\alphaX_i\colon(\Omega,\mathcal F,\Pr)\to(S_\alphaS_i,\mathcal G_\alphaG_i)\qquad(\alphai\in I)</math>
에 대하여, [[시그마 대수]]
:<math>\mathcal F_\alphaF_i=\{X_\alphaX_i^{-1}(T)|T\in\mathcal G_\alphaG_i\}\subset\mathcal F</math>
를 정의할 수 있다. 만약 <math>\{\mathcal F_\alphaF_i\}_{\alphai\in I}</math>가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률변수의확률 변수의 집합 <math>\{X_\alphaX_i\}_{\alphai\in I}</math>이 서로 '''독립'''이라고 한다.
 
== 성질 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 위의 [[π계]]의 집합 <math>\mathfrak P\subset\mathcal P(\mathcal F)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
<math>X</math>와 <math>Y</math>가 같은 확률공간 위의 두 확률변수이며, <math>X</math>가 상수 변수 (즉, 공역이 자명한 [[시그마 대수]]를 갖춘 [[가측 공간]])라면, <math>\{X,Y\}</math>는 서로 독립이다.
* <math>\{\sigma(\mathcal P)|\mathcal P\in\mathfrak P\}</math>는 서로 독립이다.
* 모든 [[유한 집합]] <math>\{\mathcal P_1,\dots,\mathcal P_n\}\subset\mathfrak P</math> 및 <math>S_i\in\mathcal P_i</math> (<math>i=1,\dots,n</math>)에 대하여,
*:<math>\Pr(S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_n)=\Pr(S_1)\Pr(S_2)\cdots\Pr(S_n)</math>
 
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\Pr)</math> 위의 [[시그마 대수]]의 집합 <math>\mathfrak G\subset\mathcal P(\mathcal F)</math> 및 <math>\mathfrak G</math>의 [[집합의 분할|분할]] <math>\{\mathfrak G_i\}_{i\in I}\subset\mathcal P(\mathfrak G)</math>에 대하여, 만약 <math>\mathfrak G</math>가 서로 독립이라면, 임의의
:<math>\left\{\sigma\left(\bigcup\mathfrak G_i\right)|i\in I\right\}</math>
역시 서로 독립이다.
 
== 외부 링크 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/독립_(확률론)"