전기적 위치 에너지: 두 판 사이의 차이

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{{전자기학}}
'''전기적 위치전위 에너지'''(電氣的位置energy, {{lang|en|electric potential energy}})는 정의된 [[계 (물리학)|물리 계]] 안에 놓인 [[전하]] 사이에서 발생하는 [[쿨롱쿨롱의 법칙|정전기력]]이 변화[[보존력|보존]]되면서 발생하는 [[위치 에너지]]이다. [[국제단위계|국제 단위]]는 다른 에너지의 종류와측정 마찬가지로단위는 [[줄 (단위)|줄]]이다. 전기적 위치 에너지는 [[볼트 (단위)|볼트]]를 단위로 하는 [[전위]]와 같은 개념이다.
 
전위 에너지는 [[볼트]]를 단위로 하는 [[전위]]와는 다른 개념이다. [[전기장]]에서 전위는 시간의 흐름과 무관하게 변하지 않는 에너지이지만, 전위 에너지는 시간이 흐름에 따라 변화한다.
 
== 정의 ==
[[점전하]] ''Q'' 가 만들어 내는 전기장 ''E'' 에 또 다른 점전하 ''q''가 놓여 있을 경우, 두 점전하는 [[쿨롱 법칙|정전기력]]에 의해 위치가 변화하게 된다. ''Q'' 의 상대적 위치를 원점으로 하여 ''q'' 의 위치 변화만을 계산할 때, 최초 위치를 '''r'''<sub>ref</sub>, 변화된 위치를 '''r'''이라 하면 ''q'' 의 전위 에너지 변화는 다음의 [[선적분]]에 의해 계산할 수 있다.<ref>Electromagnetism (2nd edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008. {{ISBN|0-471-92712-0}}</ref>. 이 때, 전기장은 점전하에서 모든 방향으로 균등하게 방사되며 변화가 없다고 가정한다.
 
===점전하의 전위 에너지===
:<math> U_E(r) - U_E(r_{\rm ref}) = -W_{r_{\rm ref} \rightarrow r } = -\int_{{r}_{\rm ref}}^r \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = -q \int_{{r}_{\rm ref}}^r \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}</math>
 
[[점전하]] ''Q'' 가 만들어 내는 전기장 ''E'' 에 또 다른 점전하 ''q''가 놓여 있을 경우, 두 점전하는 [[쿨롱쿨롱의 법칙|정전기력]]에 의해 위치가 변화하게 된다. ''Q'' 의 상대적 위치를 원점으로 하여 ''q'' 의 위치 변화만을 계산할 때, 최초 위치를 '''r'''<sub>ref</sub>, 변화된 위치를 '''r'''이라 하면 ''q'' 의 전위 에너지 변화는 다음의 [[선적분]]에 의해 계산할 수 있다.<ref>Electromagnetism (2nd edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008. {{ISBN| 0- 471- 92712- 0}}</ref>. 이 때, 전기장은 점전하에서 모든 방향으로 균등하게 방사되며 변화가 없다고 가정한다.
 
:<math> U_E(r) - U_E(r_{\rm ref}) - U_E(r) = -W_{r_{\rm ref} \rightarrow r } = -\int_{{r}_{\rm ref}}^r \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = -q \int_{{r}_{\rm ref}}^r \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \,\!</math>
 
<small>
* '''r''' = 3차원 공간에서 ''' r'''은 '''r''' = (''x'', ''y'', ''z'')의 위치에서 ''r'' = |'''r'''| 의 크기를 같는 위치 [[벡터]]이다.
* <math> \scriptstyle W_{r_{\rm ref} \rightarrow r } </math> 점전하 ''q'' 가 '''r'''<sub>ref</sub> 에서 '''r'''로 이동하였음을 의미한다.
* '''F''' 는 ''Q''에 의해 ''q'' 에 가해진 힘이다.
* '''E''' 는 ''Q''에 의한 [[전기장]]이다.
</small>
 
일반적으로 ''U<sub>E</sub>'' 를 0 으로, '''r'''<sub>ref</sub>을 무한대로 놓아 다음과 같이 표기한다.
 
:<math> U_E (r_{\rm ref}=\infty) = 0 \,\!</math>
 
따라서,
 
:<math> -U_E(r) = -\int_\infty^r \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = -q \int_\infty^r \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \,\!</math>
 
가 되고, 이 때 '''E''', '''F''', '''r'''은 모두 ''Q'' 에 의해 방사상으로 이끌리고, '''F'''와 d'''r'''은 역평행이어야 하므로,
:<math> \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = |\mathbf{F}| \cdot |\mathrm{d}\mathbf{r}|\cos(\pi) = - F \mathrm{d}r</math>
이다.
 
:<math> \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = |\mathbf{F}| \cdot |\mathrm{d}\mathbf{r}|\cos(\pi) = - F \mathrm{d}r \,\!</math>
[[쿨롱의 법칙]]에 따라
 
:<math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2}</math>
[[쿨롱의 법칙]]에 따라:
 
:<math> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2} \,\!</math>
 
이므로, 적분을 간단히 하면:
:<math> U_E(r) = -\int_\infty^r \mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{r} = -\int_\infty^r \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2}{\rm d}r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r}</math>
이 된다.
 
:<math> U_E(r) = -\int_\infty^r \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} = -\int_\infty^r \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2}{\rm d}r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qQ}{r} \,\!</math>
[[국제단위계]]에서 쿨롱 상수는
:<math> k_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} </math> <small> (이때, <math>\varepsilon_0</math> 는 [[진공]]의 [[유전율]])</small>
이므로 다음과 같이 표시하기도 한다.
:<math> U_E(r) = k_e \frac{qQ}{r}</math>
 
위 식에 쿨롱상수를 사용하는 경우도 있다. [[SI 단위]]에서 쿨롱 상수는 다음과 같다.
즉, 점전하 ''Q''가 만들어 내는 전기장 ''E''에 놓인 점전하 ''q''가 '''r''' 만큼 위치가 변화하였을 때의 에너지는 두 점전하 사이의 거리에 반비례하고 전하량의 곱에 비례한다.
 
:<math> U_E(r)k_e = k_e \frac{qQ1}{r4 \pi \varepsilon_0} </math>,
== 전기 에너지 밀도 ==
어떤 계가 가지고 있는 전기 에너지는 다음과 같이 표현할 수 있다.
:<math> U = \sum_{i>j} \frac{kq_iq_j}{r_{ij}} = \frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{kq_iq_j}{r_{ij}} = \frac{1}{2} \sum q_i V_i </math>
연속적인 전하분포 <math> \rho( \mathbf r ) </math>에 의한 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math> U = \frac{1}{2} \int \rho V d\tau = \frac{1}{2} \int (\epsilon_0 \nabla \cdot \mathbf E )V d\tau = \frac{\epsilon_0}{2} \left[ -\int \mathbf E \cdot ( \nabla V ) d\tau + \oint V \mathbf E \cdot d\mathbf a \right] = \frac{\epsilon_0 }{2} \left[\int_{\mathcal V} E^2 d\tau + \oint_{\mathcal S} V \mathbf E \cdot d\mathbf a \right] </math>
여기서 <math> \mathcal S </math>는 <math> \mathcal V </math>의 경계면이다. 그런데 <math> \mathcal V </math>를 무한대로 보내면 <math> \mathcal S </math>에서 <math> \mathbf E </math>와 <math> V </math>모두 <math> 0 </math>에 수렴하므로 위 적분은 다음과 같이 나타내어진다.
:<math> U = \frac{\epsilon_0 }{2} \int_{\mathcal V} E^2 d\tau </math>
따라서 전기 에너지 밀도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math> u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 </math>
 
<math>\varepsilon_0</math> 는 [[진공]]에서의 [[유전율]]을 뜻한다.
== 같이 보기 ==
* [[전위]]
* 전압
* 전류
* 축전기
 
== 각주 주석==
{{각주주석}}
 
{{토막글|과학}}
 
[[분류:전자기학]]
 
[[분류:전압]]
[[ar:طاقة كهربائية]]
[[bs:Električna energija]]
[[cs:Elektrická energie]]
[[da:Elektrisk energi]]
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[[el:Ηλεκτρική ενέργεια]]
[[en:Electric potential energy]]
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[[pt:Energia potencial elétrica]]
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[[scn:Enirgia putinziali elettrica]]
[[simple:Electrical energy]]
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[[sr:Електрична енергија]]
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[[tr:Elektriksel potansiyel enerji]]
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