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== 역사 ==
"초월적"이라는 이름은 [[라틴어]]로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다.<ref>''Oxford English Dictionary'', [http://www.oed.com/view/Entry/204606 ''s.v.'']</ref> [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠]]는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 {{수학|1=sin ''x''}}가 {{수학 변수|x}}의 [[대수함수]]가 아니라는 것을 증명했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Leibniz|Gerhardt|Pertz|1858|pp=97–98}}.</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Bourbaki|1994|p=74}}.</ref> [[레온하르트 오일러]]는 18세기에 현대적인 숫자를 "초월한" 최초의 수학자로 여겨지고 있다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Erdős|Dudley|1983}}.</ref>
[[요한 람베르트]]는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 {{수학 변수|e}}([[자연로그의 밑]])와 {{pi}}([[원주율]]) 둘 다 초월수라고 추측했고 [[무리수]]인 {{pi}}의 초월수 증명에 대한 잠정적인 스케치를 제안했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Lambert|1768}}</ref> [[조제프 리우빌]]은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고<ref name="Kempner">{{괄호 없는 하버드 인용|Kempner|1916}}.</ref> 1851년에 [[리우빌 수]]와 같은 소수점 1번째 자리의 사례를 제시했다.
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\end{align}</math>
{{수학 변수|n}}이 {{수학|1=''k''!}} ({{수학 변수|k}} [[계승]])인 경우에는 소수점 뒤의 {{수학 변수|n}}번째 자리가 {{수학|1=1}}이고 그렇지 않은 경우에는 {{수학|1=0}}
1874년에는 [[게오르크 칸토어]]가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Cantor|1874}}.</ref><ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Gray|1994}}.</ref> 비록 이것이 대수적 수의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월적인 숫자들이 있다는 것을 증명하는 구성을 공개했다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Cantor|1878|p=254}}. 칸토어의 구조는 초월수 집합과 실수 집합 사이의 1 대 1 대응 관계를 구축한다. 이 글에서 칸토어는 비합리적인 숫자의 집합에만 그의 구조를 적용한다.</ref> 칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다.
1882년에는 [[페르디난트 폰 린데만]]이 {{수학 변수|π}}의 초월성에 대한 최초의 완전한 증거를 출판했다. 그는 먼저 {{수학 변수|a}}가 0이 아닌 대수적 수일 경우 {{수학|1=''e''<sup>''a''</sup>}}가 초월적이라는 것을 증명했다. 그렇다면 {{수학|1=''e''<sup>''i''{{pi}}</sup> {{=}} −1}}은 대수적이므로([[오일러의 항등식]] 참조), {{수학|1=''i''{{pi}}}}는 초월적이어야 한다. 그러나 {{수학|1=''i''}}가 대수적이기 때문에 {{수학 변수|π}}는 초월적이어야 한다. 이러한 접근 방식은 [[카를 바이어슈트라스]]에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. {{수학 변수|π}}의 초월은 [[원적문제]]와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 [[컴퍼스와 자 작도]]를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다.
1900년에는 [[다비트 힐베르트]]가 힐베르트의 7번째 문제인 초월수에 대해 영향력 있는 질문을 던졌다. "{{수학 변수|a}}가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 {{수학 변수|b}}가 무리수인 대수적 수라면 반드시 초월수인가?" 이에 대한 긍정적인 대답은 1934년에 [[겔폰트-슈나이더 정리]]를 통해 제공되었다. 이 연구는 1960년대에 [[앨런 베이커]]가 진행한 (대수 수) 로그에서 선형 형태의 하한에 대한 연구를 통해 확장되었다.<ref>J J O'Connor and E F Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html Alan Baker]. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.</ref>
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어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 실제 초월수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실제 초월수와 대수적 수의 [[부분집합]]을 포함한다. 단일 변수의 일정하지 않은 [[대수함수]]는 초월 인수에 적용될 때 초월 값을 산출한다.
단일 변수의 일정하지 않은 [[대수함수]]는 초월 인수에 적용될 때 초월 값을 산출한다. 예를 들어 {{pi}}가 초월적이라는 것을 아는 것으로부터 {{수학|1=5''π'', {{수직분수|''π''-3|{{제곱근|2}}}}와 같은 숫자들을 즉시 추론할 수 있다. ({{제곱근|''π''}}-{{제곱근|3}}){{위 첨자|8}}}} 및 {{수학|1={{제곱근|''π''{{위 첨자|5}}+7|4}}}}도 초월수이다.
그러나 여러 변수의 대수함수는 초월수에 적용될 때 대수적 수를 산출할 수 있다. 예를 들어 {{pi}}와 {{수학|1=(1 − ''π'')}}는 둘 다 초월적이지만 {{수학|1=''π'' + (1 − ''π'') {{=}} 1}}은 분명히 그렇지 않다. 예를 들어 {{수학|1=''e'' + ''π''}}가 초월적인지는 알 수 없지만, {{수학|1=''e'' + ''π''}}와 {{수학 변수|eπ}} 가운데 적어도 하나는 초월적인 것이어야 한다. 보다 일반적으로 어떤 2가지 초월수 {{수학 변수|a}}와 {{수학 변수|b}}의 경우 적어도 {{수학|1=''a'' + ''b''}}와 {{수학 변수|ab}} 가운데 하나는 초월수여야 한다. 이를 확인하려면 다항식 {{수학|1=(''x'' − ''a'')(''x'' − ''b'') {{=}} ''x''<sup>2</sup> − (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''}}을 고려해야 한다. 만약 {{수학|1=(''a'' + ''b'')}}와 {{수학 변수|ab}}가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 [[대수적으로 닫힌 체]]를 형성하기 때문에 다항식인 {{수학 변수|a}}와 {{수학 변수|b}}의 근은 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이것은 모순이다. 따라서 적어도 하나의 계수가 초월적이라는 것은 틀림없다.
계산 불가능한 수는 초월수의 엄격한 부분집합이다. 모든 [[리우빌 수]]는 초월적이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 지속적인 [[연분수]]에서 제한 없는 부분적인 몫을 가져야 한다. 계산 인수를 사용하면 제한된 부분적인 몫을 가진 초월수가 존재하므로 리우빌 수가 아니라는 것을 증명할 수 있다.
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