사용자:Sangjinhwa/작업실4: 두 판 사이의 차이

어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 실제 초월수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실제 초월수와 대수적 수의 [[부분집합]]을 포함한다. 단일 변수의 일정하지 않은 [[대수함수]]는 초월 인수에 적용될 때 초월 값을 산출한다.

 

 

그러나 여러 변수의 대수함수는 초월수에 적용될 때 대수적 수를 산출할 수 있다. 예를 들어 {{pi}}와 {{수학|1=(1 − ''π'')}}는 둘 다 초월적이지만 {{수학|1=''π'' + (1 − ''π'') {{=}} 1}}은 분명히 그렇지 않다. 예를 들어 {{수학|1=''e'' + ''π''}}가 초월적인지는 알 수 없지만, {{수학|1=''e'' + ''π''}}와 {{수학 변수|eπ}} 가운데 적어도 하나는 초월적인 것이어야 한다. 보다 일반적으로 어떤 2가지 초월수 {{수학 변수|a}}와 {{수학 변수|b}}의 경우 적어도 {{수학|1=''a'' + ''b''}}와 {{수학 변수|ab}} 가운데 하나는 초월수여야 한다. 이를 확인하려면 다항식 {{수학|1=(''x'' − ''a'')(''x'' − ''b'') {{=}} ''x''² − (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''}}을 고려해야 한다. 만약 {{수학|1=(''a'' + ''b'')}}와 {{수학 변수|ab}}가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 [[대수적으로 닫힌 체]]를 형성하기 때문에 다항식인 {{수학 변수|a}}와 {{수학 변수|b}}의 근은 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이것은 모순이다. 따라서 적어도 하나의 계수가 초월적이라는 것은 틀림없다.