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*The number {{math|{{sfrac|''π''|2}}{{sfrac|''Y''{{sub|0}}(2)|''J''{{sub|0}}(2)}}-''γ''}}, where {{math|''Y''{{sub|''α''}}(''x'')}} and {{math|''J''{{sub|''α''}}(''x'')}} are Bessel functions and {{mvar|γ}} is the [[Euler–Mascheroni constant|Euler-Mascheroni constant]].<ref>{{Cite journal|last1=Mahler|first1=Kurt|last2=Mordell|first2=Louis Joel|date=1968-06-04|title=Applications of a theorem by A. B. Shidlovski|url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1968.0111|journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences|volume=305|issue=1481|pages=149–173|doi=10.1098/rspa.1968.0111|bibcode=1968RSPSA.305..149M|s2cid=123486171}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Lagarias|first=Jeffrey C.|date=2013-07-19|title=Euler's constant: Euler's work and modern developments|arxiv=1303.1856|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=50|issue=4|pages=527–628|doi=10.1090/S0273-0979-2013-01423-X|issn=0273-0979|doi-access=free}}</ref>
== 초월수가 될 가능성이 있는 수 ==
==Possible transcendental numbers==
초월수 또는 대수적 수로 아직 입증되지 않은 수:
Numbers which have yet to be proven to be either transcendental or algebraic:
* Most sums, products, powers, etc. of the number {{pi}}수학 and the [[E (mathematical constant)|number {{mvar|e}}]], e.g. {{mvar변수|eπ}}, {{math수학|1=''e'' + ''π''}}, {{math수학|1=''π'' − ''e''}}, {{math수학|1=''π''/''e''}}, {{pi}}<sup>{{pi}}</sup>, {{math수학|1=''e''<sup>''e''</sup>}}, {{math수학|1=''π''<sup>''e''</sup>}}, {{math수학|1=''π''{{sup위 첨자|{{sqrt제곱근|2}}}}}}, {{math수학|1=''e''<sup>''π''<sup>2</sup></sup>}} are등과 not같은 known{{pi}}([[원주율]])과 to{{수학 be변수|e}}([[자연로그의 rational밑]])의 합, algebraic곱, irrational힘은 or유리수, transcendental대수적 수, 무리수, 초월수라고 알려져 있지 않다. A notable주목할 만한 예외는 exception초월성이 is입증된 {{math수학|1=''e''{{sup위 첨자|''π''{{sqrt제곱근|''n''}}}}}} (for모든 any양의 positive integer정수 {{mvar수학 변수|n}}) which has been proven에 transcendental대해이다.<ref>{{MathWorld매스월드|IrrationalNumber|Irrational Number}}</ref>
오일러-마스체로니 상수 :: 2010년 M. 람 머티와 N. 사라다는 또한 G/4을 포함하는 무한한 수의 목록을 고려했고, 그 중 하나를 제외하고는 모두 초월적이어야 한다는 것을 보여주었다.[37][38] 2012년, β와 오일러-곰퍼츠 상수 β 중 적어도 하나가 초월성이라는 것이 밝혀졌다.[39]
* The [[Euler–Mascheroni오일러-마스케로니 constant상수]] {{mvar수학 변수|γ}}'':'' In 2010 M. Ram램 Murty and머티와 N. Saradha considered an infinite list of numbers also사라다는 containing2010년에 {{math수학|1={{sfrac수직분수|''γ''|4}}}}를 and포함하는 showed무한한 that수의 all목록을 but고려했고 at이 most가운데 one하나를 of제외하고 them모두 have초월적이어야 to한다는 be것을 transcendental증명했다.<ref>{{Cite저널 journal인용|last1성1=Murty|first1이름1=M. Ram|last2성2=Saradha|first2이름2=N.|date날짜=2010-12-012010년 12월 1일|title제목=Euler–Lehmer constants and a conjecture of Erdös|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X10001836|journal저널=Journal of Number Theory|language언어=en영어|volume권=130|issue호=12|pages쪽=2671–2682|doi=10.1016/j.jnt.2010.07.004|issn=0022-314X}}</ref><ref>{{Cite저널 journal인용|last1성1=Murty|first1이름1=M. Ram|last2성2=Zaytseva|first2이름2=Anastasia|date날짜=2013-01-012013년 1월 1일|title제목=Transcendence of Generalized Euler Constants|url=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/amer.math.monthly.120.01.048|journal저널=The American Mathematical Monthly|volume권=120|issue호=1|pages쪽=48–54|doi=10.4169/amer.math.monthly.120.01.048|s2cid=20495981|issn=0002-9890}}</ref> In 2012 it was shown that at least one of2012년에는 {{mvar수학 변수|γ}}와 and the [[Gompertz constant|Euler오일러-Gompertz곰페르츠 constant]]상수 {{mvar수학 변수|δ}} is가운데 적어도 하나가 초월성이라는 것이 transcendental입증되었다.<ref>{{Cite저널 journal인용|last성=Rivoal|first이름=Tanguy|date날짜=20122012년|title제목=On the arithmetic nature of the values of the gamma function, Euler's constant, and Gompertz's constant|url=https://projecteuclid.org/euclid.mmj/1339011525|journal저널=Michigan Mathematical Journal|language언어=EN영어|volume권=61|issue호=2|pages쪽=239–254|doi=10.1307/mmj/1339011525|issn=0026-2285|doi-access=free}}</ref>
* [[Catalan's constant]], not even proven to be irrational.
* [[카탈랑 상수]] 또한 무리수로 입증되지 않았다.
* [[Khinchin's constant]], also not proven to be irrational.
* [[킨친 상수]] 또한 무리수로 입증되지 않았다.
* [[Apéry's constant]] {{math|''ζ''(3)}} (which [[Apéry]] proved is irrational).
* [[아페리 상수]] {{수학|''ζ''(3)}} (로제 아페리는 무리수라고 증명했다.)
* The [[Riemann zeta function]] at other odd integers, {{math|''ζ''(5)}}, {{math|''ζ''(7)}}, ... (not proven to be irrational).
* [[리만 제타 함수]]의 다른 홀수 정수인 {{수학|''ζ''(5)}}, {{수학|''ζ''(7)}}, ... (무리수로 입증되지 않았다.)
* The [[Feigenbaum constants]] {{mvar|δ}} and {{mvar|α}}, also not proven to be irrational.
* [[파이겐바움 상수]] {{수학 변수|δ}}와 {{수학 변수|α}}도 무리수로 입증되지 않았다.
* [[Mills' constant]], also not proven to be irrational.
* [[밀스 상수]] 또한 무리수로 입증되지 않았다.
* The [[Copeland–Erdős constant]], formed by concatenating the decimal representations of the prime numbers.
* [[코플랜드 에르되시 상수]]는 소수점 표기를 연결하여 형성된다.
Conjectures:
* [[Schanuel's conjecture]],
* [[Four exponentials conjecture]].
==Sketch of a proof that {{mvar|e}} is transcendental==
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