거리 함수: 두 판 사이의 차이

* [[노름 공간]] <math>(\R, | \cdot |)</math>은 [[바나흐 공간]]이고, 이때 절댓값은 <math>\R</math>의 일반적인 유클리드 위상을 유도하는 실직선 <math>\R</math>의 노름 역할을 한다. <math>\R</math>위의 거리 <math>D : \R \times \R \to \R</math>를 모든 <math>x, y \in \R</math>에 대해 <math>D(x, y) = | \arctan(x) - \arctan(y)|</math>로 정의하자. {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>{{Hair space}}}}의 유도 거리와 마찬가지로, 거리 <math>D</math>도 {{수학|1=ℝ}}에서 일반적인 유클리드 위상을 유도한다. 그러나 <math>x_i := i</math>로 정의된 수열 <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math>는 [[코시 열|{{개행 금지|<math>D</math>-코시}} 열]]이지만 {{수학|1=ℝ}}의 어떠한 점으로도 수렴하지 않기 때문에 <math>D</math>는 [[완비 거리 공간|완비 거리]]가 아니다. 이 {{개행 금지|<math>D</math>-코시}} 열은 수렴하지 않으므로 <math>(\R, | \cdot |)</math>에 대한 코시 열이 될 수 없다. 즉, 노름 {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>}}에 관한 코시 열이 아니다. 왜냐하면 <math>(\R, | \cdot |)</math>이 바나흐 공간이라는 사실 때문에, 이 수열이 {{개행 금지|<math>| \cdot |</math>-코시 열}}이라면 수렴해야 하고, 이는 모순이기 때문이다.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}