조르당 표준형: 두 판 사이의 차이

&&& \lambda_i

\end{pmatrix}

 

조르당 블록의 대각 성분 <math>\lambda_i</math>들은 <math>M</math>의 [[고윳값]]들이다. 서로 다른 조르당 블록의 대각 성분은 서로 같을 수 있다. 각 고윳값에 대응하는 조르당 블록의 수는 그 고윳값의 [[기하적 중복도]]와 같다. 특히 <math>k</math>는 모든 고윳값의 기하적 중복도의 합이다. 조르당 표준형의 대각선 위에 주어진 고윳값이 등장하는 횟수는 그 고윳값의 [[대수적 중복도]]이다. (물론 그 합은 <math>n</math>이다.) 만약 <math>k=n</math>인 경우 (즉, 모든 조르당 블록의 크기가 1×1인 경우), 조르당 표준형은 [[대각 행렬]]이 된다. 반대로 만약 <math>k<n</math>이라면 (즉, 주대각선 위에 1이 있는 조르당 블록이 존재한다면), 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작은 고윳값이 적어도 하나 존재하게 되므로 <math>M</math>은 [[대각화 가능 행렬]]이 아니다.

 

사실 조르당 표준형은 <math>M</math>으로 유도된 <math>K[x]</math>-[[가군]] <math>K^n</math> (<math>x\cdot v=Mv</math>)의 [[으뜸 분해]]

 

=== 실수 조르당 표준형 ===

모든 성분이 실수인 행렬은 복소수 행렬로서 유일한 조르당 표준형을 가지며, 이는 [[특성 다항식]]이 허근을 갖는다면 실수 행렬이 아니다. [[복소수체]]의 [[기약 다항식]]이 1차 다항식들인 반면, [[실수체]]의 [[기약 다항식]]들은 1차 다항식과

꼴의 2차 다항식으로 구성된다. 이 경우 [[으뜸 분해]]의 2차 다항식의 거듭제곱에 대한 성분에 대하여 다른 적절한 기저를 취해서 표준형이 실수 행렬이 되도록 만들 수 있다.

 

&&& \lambda_i

\end{pmatrix}

* <math>J_i=

\begin{pmatrix}

&&&&& b_i & a_i

\end{pmatrix}

이 경우, <math>M</math>으로 유도된 <math>\mathbb R[x]</math>-[[가군]] <math>\mathbb R^n</math> (<math>x\cdot v=Mv</math>)의 [[으뜸 분해]]

* 만약 <math>p_i(x)=x-\lambda_i</math>라면,

* 만약 <math>p_i(x)=(x-a_i)^2+b_i^2</math>라면,

 

== 계산법 ==