사상 (수학): 두 판 사이의 차이
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[[수학]]에서 '''사상'''(寫像, {{문화어|
예를 들어 [[집합]]의 사상은 임의의 함수이며, [[군 (수학)|군]]의 사상은 [[군 준동형]], [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 사상은 [[연속 함수]]이다.
[[범주론]]은 대상과 사상으로 이루어진 [[범주 (수학)|범주]]를 연구하는 분야이다. [[구체적 범주]]에서 대상은 집합 위에 특정한 구조가 주어진 것이고 사상은 그 구조를 보존하는 함수이나, 일반적인 범주에서 대상은 꼭 집합일 필요가 없고 사상은 단순히 대상들 사이의 '화살표'일 뿐이다.
사상이라는 용어는 영어
== 정의 ==
[[범주 (수학)|범주]] <math>C</math>는 '대상'의 [[모임 (수학)|모임]] <math>\mathrm{ob}(C)</math>와 '사상'의 모임 <math>\hom(C)</math>로 이루어져 있다. 각 사상은 '정의역'과 '공역'을 갖는데, 이들은 둘 다 <math>C</math>의 대상이다. 사상 <math>f</math>의 정의역이 <math>X</math>이고 공역이 <math>Y</math>일 때 이를 <math>f :\, X \to Y</math>로 나타낸다. <math>X</math>에서 <math>Y</math>로의 모든 사상의 모임을 <math>\hom_C(X,Y)</math> 혹은 간단히 <math>\hom(X,Y)</math>로 나타내고, 이를 <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 '''사상 모임'''({{llang|en|hom-class}})이라 하며, 이것이 집합인 경우에는 '''사상 집합'''({{llang|en|hom-set}})이라 한다. (이를 <math>\mathrm{Mor}_C(X,Y)</math> 혹은 <math>\mathrm{Mor}(X,Y)</math> 등으로 나타내는 저자도 있다.)
임의의 세 대상 <math>X,Y,Z</math>에 대해, <math>\hom(X,Y) \times \hom(Y,Z)</math>에서 <math>\hom(X,Z)</math>로 가는 [[이항연산]]이 존재하며, 이를 '''사상의 합성'''이라 부른다. 사상 <math>f :\, X \to Y</math>와 <math>g :\, Y \to Z</math>의 합성은 <math>g\circ f</math> 혹은 <math>gf</math>로 쓴다. (일부 저자는 <math>fg</math>로 쓰기도 한다.) 많은 경우 사상의 합성을 아래와 같은 [[
<div style="text-align: center;">[[파일:Commutative diagram for morphism.svg]]</div>
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=== 전사 사상 ===
{{본문|전사 사상}}
쌍대 개념으로, 임의의 사상 <math>g_1, g_2 :\, Y \to Z</math>에 대해 <math>g_1\circ f=g_2\circ f</math>가 <math>g_1 = g_2</math>를 함의하면 <math>f</math>를 '''[[전사 사상]]'''이라 한다. 또한, <math>f\circ g={\rm id}_Y</math>를 만족하는 사상 <math>g :\, Y \to Z</math>가 존재하면 이를 f의 '''우 역사상'''(right-inverse)이라 한다. 우 역사상을 갖는 사상은 전부 전사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 전사 사상이 우 역사상을 가지면 이를 '''분해 전사 사상'''(split epimorphism)이라 한다. [[구체적 범주]]에서 우 역함수를 갖는 함수는 [[전사 함수]]와 일치하며, 이 조건은 전사 사상 조건보다는 강하지만 분해 전사 사상 조건보다는 약하다. [[
*참고: 분해 단사 사상 <math>f</math>가 좌 역사상 <math>g</math>를 가지면, <math>g</math>는 <math>f</math>를 우 역사상으로 갖는 분해 전사 사상이다.
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