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=== 코시 열에 따른 구성 ===
{{본문|코시 열|완비 거리 공간}}
실수를 구성하는 또 다른 방법은 실수의 절단에 비하면 간접적으로나마 역시 유리수의 순서를 이용하는 것이다. 먼저, 2개의 유리수 {{수학 변수|x}}와 {{수학 변수|y}}에 대해, 거리 {{수학|1=''d''(''x'', ''y'')}}를 [[절댓값]] {{수학|1={{절댓값|''x'' - ''y''}}}}로 정의한다({{수학 변수|z}}의 절댓값 {{수학|1={{절댓값|''z''}}}}란 {{수학 변수|z}}와 {{수학 변수|-z}}의 작지 않은 편으로 정의하는데 음수가 아니다). 즉 실수 전체를 이러한 거리 {{수학 변수|d}}에 관한 유리수의 [[코시 열]] 전체를 다음과 같이 정의하는 [[동치관계|동치류]]로 나눈 것으로서 정의하는 것이다([[실수의 완비성]]도 참고할 것). 여기서 유리[[수열]](즉 자연수에서 유리수로의 [[
:임의의 정의 수 {{수학 변수|ε}}에 대해 번호 {{수학 변수|N}}이 존재하며 {{수학 변수|N}}보다 큰 모든 {{수학|1=''m'', ''n''}}에 대해 {{수학|1={{절댓값|''x{{아래 첨자|m}}'' − ''x{{아래 첨자|n}}''}} < ''ε''}}
가 성립되는(즉 번호가 충분히 앞이면 인접한 2항 간의 거리가 끝없이 작아진다) 것으로 정의된다.<ref>Griffiths & Hilton §24.2 "Sequences" p.386</ref>
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