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'''2의 [[제곱근]]''', '''<math>\sqrt{2}</math>'''는 스스로 곱해서 [[2]]가 되는 양의 [[실수]]로, '''피타고라스 상수'''로도 잘 알려져 있다. [[소수점]]이하 65자리까지의 근사값{{OEIS|id=A002193}}은 다음과 같다.
:1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799
또, <math>\sqrt{2}</math> 는 첫번째로 알려진 [[무리수]]이다. 기하학적으로 [[피타고라스 정리]]에 따르면 '''<math>\sqrt{2}</math>'''는 한변의 길이가 단위 [[1]]인 정사각형의 대각선의 길이다.
== 무리수 증명 ==
이 수가 [[무리수]]라는 것은 [[귀류법]]을 이용해서 증명할 수 있다.
# 만약 <math>\sqrt{2}</math>가 [[유리수]]라고 하면, <math>\frac a b = \sqrt{2}</math>를 만족하고 [[서로 소 (수론)|서로 소]]인 [[정수]] <math>a</math>와 <math>b</math>가 존재한다.
# 그렇다면 양변을 제곱한 식인 <math>\left( \frac a b \right)^2 = 2</math>가 성립한다.
# 정리하면 <math>a^2 = 2b^2</math>가 되고, 우변이 짝수이므로 좌변도 짝수이고, 따라서 <math>a</math>도 짝수가 된다.
# 그러면 <math>a = 2k</math>인 정수 <math>k</math>가 존재하고, 이 식을 대입하면 <math>(2k)^2 = 2b^2</math>이 된다.
# 정리하면 <math>b^2 = 2k^2</math>이고, 같은 방법으로 <math>b</math>는 짝수여야 한다.
# (3)과 (5)에서 2는 <math>a</math>와 <math>b</math>의 공약수이고, 이것은 처음에 두 수가 서로 소라는 조건과 모순된다.
# 따라서, 처음의 가정이 잘못되었고, 결국 <math>\sqrt{2}</math>는 무리수이다.
[[분류:무리수]]
[[분류:대수적 수]]
[[분류:수학 상수]]
[[da:Irrationale tal#Irrationaliteten_af_kvadratrod_2]]
[[de:Wurzel 2]]
[[en:Square root of 2]]
[[es:Raíz cuadrada de 2]]
[[fi:Neliöjuuri 2]]
[[fr:Racine carrée de deux]]
[[it:Numero irrazionale#Irrazionalit.C3.A0_della_radice_quadrata_di_2]]
[[ja:2の平方根]]
[[nl:Bewijs dat wortel 2 irrationaal is]]
[[no:Kvadratroten av 2]]
[[sv:Kvadratroten ur 2]]
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