|
[[파일:Torus.png|right|thumb|250px|원환체(torus)]]
기하학에서[[기하학]]에서, '''원환체원환면'''(Torus{{lang|en|torus}})란이란 [[원 (기하)|원]]을 삼차원 공간 상에서 원을 포함하는 평면위의평면 위의 직선을 축으로 회전하여 만든 [[회전체|회전면]](surface of revolution)이다. 대부분의 교과서에서는 이 직선이 원과 만나지 않음을 가정한다. 원환면을 표면으로 하는 입체를 '''원환체'''({{lang|en|toroid}})라고 한다.
[[위상수학]]에서는 원환체는원환면은 두 원의 [[곱집합]](Cartesian product) <math>S^1 \times S^1</math>과 [[위상동형]](homeomorphic)이다. 또한 종수(genus) 2의 2차원 [[컴팩트 공간|컴팩트]] [[다양체]](compact 2-manifold)이기도 하다. 원환체는원환면은 삼차원 유클리드 공간에 매립(embed) 된다.
영명 {{llang|en|torus|토러스}}는 부풂 또는 쿠션을 의미하는 {{llang|la|tŏrus|토루스}}에서 유래하였다.<ref>{{책 인용|이름=Charlton T.|성=Lewis|제목=A Latin Dictionary|url=http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.04.0059:entry=torus}}</ref>
원환체를 의미하는 영단어 Torus는 쿠션을 의미하는 [[라틴어]]에서 유래하였다<ref>출처는 영문위키피디아</ref>
== 좌표계로 표현하기 ==
원환체는원환면은 다음 식으로 매개변수화 할 수 있다.
:<math>x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \, </math>
:<math>y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \, </math>
여기서 각 변수의 범위와 의미는 다음과 같다.
:<math>u, v</math>는 구간 <math>[0, 2\pi)</math>의 원소이다.
:<math>R</math>은 원환체의원환면의 중심에서 튜브의 표면까지의 거리이다.
:<math>r</math>은 튜브의 반지름이다.
이 밖에도 다양한 방법으로 표현가능하다.
== 원환체의 부피와 겉넓이 ==
원환체의원환면의 중심에서 튜브의 표면까지의 거리가 <math>R</math>이고 튜브의 반지름이 <math>r</math>인 원환체의 부피는 <math> 2 \pi^2 r^2 R </math>이고, 겉넓이는원환면의 넓이(원환체의 겉넓이)는 <math> 4 \pi^2 rR </math>이다.
== 위상수학과의 관계 ==
:(''x'',''y'') ~ (''x''+1,''y'') ~ (''x'',''y''+1).
원환체의 [[기본군]](Fundamental group)은 원의 기본군의 [[곱집합]]이 된다이다. 즉,
:<math>\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.</math>
[[파일:Inside-out torus (animated, small).gif|thumb|right|170px|구멍이 하나 뚫린 원환체의원환면의 안과 밖을 뒤집는 과정]]
원환체에원환면에 구멍을 하나 내면 안과 밖을 뒤집을 수 있다. 이때, 원환체의원환면의 튜브를 감싸는 원은 원환체의 가운데 빈 구멍을 둘러 돌아가는 원이 되고, 그 역도 성립한다.
== 고차원 원환체원환면 ==
원환체는원환면은 고차원에서 일반화할 수 있다. 2차원 원환체가원환면이 두 개의 원을 곱집합 한 것이므로 고차원 원환체는원환면은 여러개의 원을 곱집합을 해서곱하여 만든다. 즉,
:<math>\mathbb{T}^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_n.</math>
1차원 원환체는원환면은 그냥 원이 된다원이다. 3차원 원환체는원환면은 시각화하기 어렵다. 2차원 원환체처럼원환면처럼 n차원 원환체는원환면은 <math>\mathbb{R}^n</math>을 모든 축에서 정수부분을 잘라 만든 [[동치 관계]](Equivalence relation)로 표현할 수 있다. 즉, n차원 원환체는원환면는 정수 격자를 법(modulo)으로 하는 <math>\mathbb{R}^n</math>이라 보면 된다. 마찬가지로, n차원 원환체는원환면는 n차원 [[하이퍼큐브]]의 모든 반대면을 접착시켜 얻을 수도 있다.
n차원 원환체는원환면은 n차원 [[컴팩트 다양체(n-dimensional공간|컴팩트]] compact manifold)의 한 예가 될 수 있다. 또한,[[다양체]]이자 컴팩트 [[아벨 군|가환아벨]] [[리 군]](compact이다. abeliann차원 Lie원환체의 group)의[[기본군]]은 한랭크 예가n의 될자유 수[[아벨 있다군]]이다.
n차원 원환체의 기본군(Fundamental group)은 랭크 n의 자유 아벨 군(Free abelian group)이 된다.
== 색칠하기 문제 ==
[[4색정리|사색문제]]와 비슷한 문제를 2차원 원환체 표면원환면 위에서 생각해 볼 수 있다. 즉, 원환체 표면에원환면에 임의의 영역이 나뉘어 있을 때, 인접한 영역을 다른 색으로 항상 색칠가능한 최소의 색의 개수를 생각해볼 수 있다. 7개의 색이 있으면 이러한 작업이 항상 가능하다. 물론, 평면에서는 네 가지로 충분하다.
[[파일:Projection color torus.png|480px|thumb|center|이러한 구성을 통해 경계를 구별하는데 최소한 일곱개의 색이 필요함을 알 수 있다.]]
== 자르기 ==
표준적인 2차원 원환체를원환면을 ''n''개의 평면으로 자를 경우 많아야 <math>\frac{1}{6}\left(n^3+3n^2+8n\right)</math>개의 조각이 만들어 진다.
== 주석 ==
{{주석}}
<references />
[[분류:위상수학]]
[[분류:기하학]]
[[ar:طارة (رياضيات)]]
| 