파데 근사

해석학에서, 파데 근사(Padé近似, 영어: Padé approximant)는 어떤 함수를 유리 함수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수의 일반화이다.

정의편집

매끄러운 함수   및 음이 아닌 정수  이 주어졌다고 하자.   차 파데 근사  는 다음과 같은 꼴의 유리 함수이다.

 

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

 

즉,  차 파데 근사는  차 도함수까지 원래 함수와 일치한다.

주어진  에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다.  이라면, 파데 근사는 매클로린 급수가 된다. 마찬가지로,  이며  이라면   파데 근사는  의 매클로린 급수의 역수이다.

계산편집

매끄러운 함수  의 파데 근사를 계산한다고 하자.   차 매클로린 급수를  라고 하자.

 

만약

 

라면, 이는

 

동치이다. 이는 양변을 전개하여,  개의 변수에 대한  개의 연립 1차 방정식으로 놓을 수 있으므로, 쉽게 풀 수 있다.

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지수 함수  의 파데 근사들은 다음과 같다.

m \ n 0 1 2 3
0        
1        
2        
3        
4        

일반적으로,   차 파데 근사는

 

이다. 여기서  초기하 함수의 하나이다.

역사편집

프랑스의 수학자 앙리 외젠 파데(프랑스어: Henri Eugène Padé, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다.

참고 문헌편집

외부 링크편집