파데 근사
해석학에서, 파데 근사(Padé近似, 영어: Padé approximant)는 어떤 함수를 유리 함수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수의 일반화이다.
정의 편집
매끄러운 함수 및 음이 아닌 정수 이 주어졌다고 하자. 의 차 파데 근사 는 다음과 같은 꼴의 유리 함수이다.
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
즉, 차 파데 근사는 차 도함수까지 원래 함수와 일치한다.
주어진 에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다. 이라면, 파데 근사는 매클로린 급수가 된다. 마찬가지로, 이며 이라면 파데 근사는 의 매클로린 급수의 역수이다.
계산 편집
매끄러운 함수 의 파데 근사를 계산한다고 하자. 의 차 매클로린 급수를 라고 하자.
만약
라면, 이는
과 동치이다. 이는 양변을 전개하여, 개의 변수에 대한 개의 연립 1차 방정식으로 놓을 수 있으므로, 쉽게 풀 수 있다.
예 편집
지수 함수 의 파데 근사들은 다음과 같다.
m \ n | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
0 | ||||
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
4 |
일반적으로, 의 차 파데 근사는
이다. 여기서 은 초기하 함수의 하나이다.
역사 편집
프랑스의 수학자 앙리 외젠 파데(프랑스어: Henri Eugène Padé, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다.
참고 문헌 편집
- Baker, George A., Jr.; P. Graves-Morris (1996). 《Padé Approximants》 (영어). Cambridge University Press.
- Baker, George A., Jr. “Padé approximant”. 《Scholarpedia》 (영어) 7 (6): 9756. doi:10.4249/scholarpedia.9756. ISSN 1941-6016.
- Brezinski, C.; M. Redivo Zaglia (1991). 《Extrapolation Methods. Theory and Practice》 (영어). North-Holland.
- Van Assche, Walter (2006). “Padé and Hermite–Padé approximation and orthogonality”. 《Surveys in Approximation Theory》 (영어) 2: 61-91. arXiv:math/0609094. Bibcode:2006math......9094V.
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외부 링크 편집
- “Padé approximation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Padé approximant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.