파이겐바움 함수

파이겐바움 함수(Feigenbaum function) 방정식은 매개 변수의 함수로서, 주기 - 배가 연속성(period-doubling cascade)를 거치는 다음과 같은 1 차원 맵으로부터 시작할 수 있다.

임의의 실수 매개 변수 $r\in \mathbb {R}$에 대하여, 로지스틱 맵은 다음과 같은 함수를 예약하고,

$f\colon \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$

$f\colon x\mapsto rx(1-x)$

이는 다음과 같이 이산 시간 동역학계로 생각할 수 있다.

$x_{n+1}=f(x_{n})$

파이겐바움함수는 위의 함수로부터 기간 $2^{n}$의 보편성 에 대한 함수 $g$와 파라미터$\alpha$와의 관계에서 얻어지는 다음과 같은 수학적 표현의 함수 방정식이다.

$g(x)={\frac {1}{-\alpha }}g(g(\alpha x))$

초기 조건

• $g(0)=1$,
• $g'(0)=0$, 및
• $g''(0)<0$

$x=0$에 가까운 해의 2 차 의존성을 갖는 특정 형태의 해에 대해, ${{1} \over {\alpha }}$ 의 역원 $\alpha =2.5029...$는 파이겐바움 상수 중 하나이다.

같이 보기

• 파이겐바움 상수

참고

• 매스월드