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선형대수학에서, 파피안(영어: Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.

정의편집

가환환  가 주어졌으며,   계수의   실수 반대칭 정사각 행렬  가 주어졌다고 하자. 그렇다면,  파피안  는 다음과 같다.

 

여기서

  •   순열들의 집합이다.
  •  순열의 부호수이다.

위 공식을 따르면,  에서  역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이  번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로,  분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을  이라고 하자. 그 크기

 

이다.  의 원소는 표준적으로

 
 
 

의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열

 
 

로 간주했을 때, 이는 포함 사상  을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.

 

고윳값을 통한 정의편집

실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다.   실수 반대칭 정사각 행렬  고윳값 이라고 하자. 그렇다면  파피안   들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

 

성질편집

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

 .

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은  의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

 

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬  는 다음과 같이 2차 미분 형식  로 나타낼 수 있다.

 .

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

 

역사편집

파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며,[1] 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.

파프미분 방정식에 대한 연구와 연관이 있으므로, 이런 유의 순열식(順列式)은 “파피안”이라고 부르도록 하겠다.
[…] the permutants of this class (from their connexion with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term “Pfaffians.”

 
[1]

참고 문헌편집

  1. Cayley, Arthur (1852). “On the theory of permutants”. 《Cambridge and Dublin Mathematical Journal》 (영어) 7: 40–51. 

외부 링크편집