주 메뉴 열기

수학에서, 파피안(Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다. 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다.

정의편집

정사각   반대칭 행렬  고윳값 이라고 하자. 그렇다면  파피안   들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

 .

성질편집

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

 .

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은  의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

 

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬  는 다음과 같이 2차 미분형식  로 나타낼 수 있다.

 .

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

 .