미분 형식

(2차 미분 형식에서 넘어옴)

미분기하학에서 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체여접다발외승단면이다.[1][2] 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 , 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, 차원의 다양체에서는 -형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.

정의

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 차원 매끄러운 다양체   위의 공변접다발   차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면  차원 벡터 다발

 

을 얻는다. 그 단면을   위의 미분 형식이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자.

 

외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.

 
 

 차 미분 형식은  의 매끄러운 단면이다.

지표 표기법

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미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다.  차원 다양체에 국소적 좌표계  를 잡으면,

 

는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의  차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

 

이에 따라서, 예를 들어 리만 계량  에 의한 부피 형식은

 

이므로,

 

이 된다.

무한 차원 다양체 위의 미분 형식

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국소 볼록 공간  가 주어졌을 때, 국소적으로  위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간 -다양체라고 하자.

이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다.

 -다양체   위의  차 미분 형식은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[3]:Definition Ⅰ.4.1

  •  에 대하여, 완전 반대칭  -선형 변환  

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

열린집합   위의 국소 좌표  에 대하여,  매끄러운 함수이다.

이 경우 쐐기곱외미분이 잘 정의된다.

연산

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미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

쐐기곱

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미분 형식의 쐐기곱(영어: wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의   ,  에 대하여,

  •  
  • (분배법칙)  
  • (반대칭성)  

성분으로 적으면 다음과 같다.

 
 

여기서  는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식  ,  의 쐐기곱은

 

이다.

외미분

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미분 형식의 외미분(外微分, 영어: Exterior derivative)은

 

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.

  • 외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
  • 0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉,  에 대하여,  이다.
  • 모든 0차 형식에 대해,  이다.
  • 임의의  ,  에 대하여  이다.

성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의  차 미분 형식

 

에 대하여,

 

이다. 즉,

 

이다. 여기서  는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

 
 
 

이고, 2차 형식의 경우

 
 
 

이다.

적분

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 차원 매끄러운 다양체   위에 방향 차 미분 형식  가 주어졌다면,  적분

 

을 정의할 수 있다. 구체적으로,  의 좌표근방계   및 이에 종속되는 단위 분할  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김  으로서 각  방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의  차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

 

을 정의할 수 있다. 그렇다면

 

이다. 여기서   차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은  배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

내적

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만약  차원 매끄러운 다양체   위에 (유사) 리만 계량  가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적  을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

  • 서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
  • 내적은 쌍선형이다.
  • 임의의  개의 1차 형식  ,  에 대하여,
     
    이다.

즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

 

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

 .

호지 쌍대

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 차원 유향 (유사) 리만 다양체  가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

 

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

 

성분으로 쓰면 다음과 같다.

 

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

 

이다.

역사

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미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

응용

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다변수 미적분학미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.

각주

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  1. 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함. 
  2. Lessig, Christian (2012년 5월 20일). “A Primer on Differential Forms” (영어). arXiv:1206.3323. Bibcode:2012arXiv1206.3323L. 
  3. Neeb, Karl-Hermann (2006). “Towards a Lie theory of locally convex groups”. 《Japanese Journal of Mathematics》 (영어) 1: 291-468. arXiv:1501.06269. 

같이 보기

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외부 링크

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