퍼펙토이드

퍼펙토이드(perfectoid)란 독일인 수학자 페터 숄체(Peter Scholze)가 도입한 개념이다.

정의

$K$가 표수 $p$의 완전 비아르키메데스적 체라고 하자. 그리고 다음을 정의하자. $K^{\circ }:=\{x\in K|\nu (x)\leq 1\}$ 그렇다면 $K$가 퍼펙토이드 체란 것은 $K^{\circ }$가 이산 국소환이 아니고 프로베니우스 사상이 $K^{\circ }/p$에서 전사인 것을 뜻한다.

$K$가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 바나흐 $K$-대수 $R$가 퍼펙토이드 $K$-대수란 것은 $R$의 원소들

$R^{\circ }:=\{x\in R|\{x^{n}|n\in \mathbb {N} \}{\text{ is bounded set }}\}$

들이 열린 집합이고 유계인 데다가 적당한 위상수학적 멱영원 $\pi \in R$가 있어서$\Phi :R/\pi \longrightarrow R/\pi$가 전사인 것이다.

이 정의에서 이산 국소환이 아니라는 조건은 안 좋은 것 같지만 정말로 중요한 역할을 하는데, 퍼펙토이드 체에서 거의 수학을 할 수 있게끔 만들어주기 때문이다. perfectoid field란 많이 대충 말해서 그 위에 분기 확장체가 거의 없는 체라고 보면 된다. 예를 들면 $\mathbb {Q} _{p}(\zeta ^{\frac {1}{p^{\infty }}})$의 완전화를 들 수 있는데, 이 체 위의 모든 확장은 그 켈러 미분들이 거의 수학으로 $0$이 된다. (Tate)

젖히기(tilting)

다음을 생각하자.

$K^{\flat }:=\left(\lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }/\pi \right)[(\pi ^{\flat })^{-1}]$ 여기에서 $\pi ^{\flat }\in \lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }/\pi$는 $|\pi ^{\flat }|=|\pi |$를 만족하는 어떤 한 원소다. 이는 $|\pi _{1}|^{p}=|\pi |$를 만족하도록 $\pi _{1}$를 잡고

$\pi ^{\flat }:=(0,\pi _{1},\cdots )\in \lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}K^{\circ }$

로 선택하면 된다. 그렇다면 다음 곱셈적 준동형사상이 존재한다.

$K^{\flat }\longrightarrow \lim _{\overset {\longleftarrow }{x\mapsto x^{p}}}K$

이는 $(x_{1},x_{2},\cdots )\in K^{\flat }$를 $x^{\sharp }:=x_{n}^{p^{n}}$로 정의하는 걸로 (이는 잘 정의된다.) 먼저

$K^{\flat }\longrightarrow K^{\circ }$

를 정의할 수 있고, 이것으로 사상을 확장할 수 있다.

$K^{\flat }$의 의미는 $K$의 표수를 $0$에서 $p$로 바꾸었다는 것이다. 그리고 perfectoid field에서 표수 바꾸기는 정말로 잘 작동한다. $K,K^{\flat }$ 둘은 $K/\pi$에선 완전히 같다.

다음은 퍼펙토이드 체에 대한 가장 중요한 성질들 중 하나다.

Theorem. 두 perfectoid $K$-algebra $R\to R'$가 있을 때 이 둘 사이의 cotangent complex는 $\mathbb {L} _{R'/R}\otimes _{\mathbb {Z} }^{L}\mathbb {F} _{p}=0$이 된다.

이것의 증명은 cotangent complex의 base change theorem을 이용하는데, 이 과정에서 perfect $\mathbb {F} _{p}$-algebra의 cotangent complex는 $0$란 사실을 이용히게 된다.

이것하고 almost mathematics의 deformation theory를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.

$\mathrm {Perf} (K^{\circ })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\circ }/\pi )^{a}$

여기에서 $\!^{a}$표시는 almost sense를 말하는 것이고 $\mathrm {Perf}$는 그 위의 perfectoid algebra를 모아놨다는 것이다. 좀 더 정확하겐 이렇게 정의한다.

Definition. perfectoid $K^{\circ a}$-algera란 $\pi$-adically complete flat $K^{\circ a}$-algebra $A$에다가 Frobenius가 $A/\pi ^{\frac {1}{p}}\cong A/\pi$를 만드는 것이다.

Definition perfectoid $K^{\circ a}/\pi$-algebra란 flat $K^{\circ a}/\pi$-algebra ${\overline {A}}$에 Frobenius가 ${\overline {A}}/\pi ^{\frac {1}{p}}\cong {\overline {A}}$를 만드는 것을 말한다.

그렇다면 $K^{\circ a}/\pi \cong K^{\flat \circ a}/\pi ^{\flat }$를 생각하면 다음을 얻을 수 있다.

Theorem. perfectoid $K$-algebra들과 perfectoid $K^{\flat }$-algebra들의 category는 서로 동치가 된다.

여기에서 이 동치가 되게 만드는 functor는 $R$를 하나 잡으면

$R^{\flat }=\left(\lim _{\overset {\longleftarrow }{\Phi }}(R^{a}/\pi )^{\flat }\right)_{*}[(\pi ^{\flat })^{-1}]$

으로 구성할 수 있다. 이는

$\mathrm {Perf} (K)\cong \mathrm {Perf} (K)^{a}\cong \mathrm {Perf} (K/\pi )^{a}\cong \mathrm {Perf} ((K/\pi )^{\flat })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\flat })^{a}\cong \mathrm {Perf} (K^{\flat })$

를 따라서 구성한 것이다. 그렇다면 다음이 성립한다.

$R^{\flat }=\lim _{\overset {\longleftarrow }{x\mapsto x^{p}}}R$

이렇게, $R^{\flat }$를 $R$의 tilt라고 한다.

폰테인-윈텐버저(Fontaine-Wintenberger)

다음이 성립한다.

$\mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}}})/\mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}))\cong \mathrm {Gal} ({\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}/\mathbb {F} _{p}((t)))$

이는 좀 더 분석해보자면 $\mathbb {Q} _{p}(\zeta _{p}^{\frac {1}{p^{\infty }}}$의 completion을 $K$라고 한다고 할 때 $K^{\flat }$는 $\mathbb {F} _{p}((t))$의 completion이 되며, 저 갈루아 군의 동형사상을 구성하는 것은 다음을 증명하는 것이 된다.

$K_{\mathrm {fet} }\cong K_{\text{fet}}^{\flat }$

그리고 이것 역시 tilt를 구성할 때 증명했던 것과 거의 같은 방법으로 구성한다. $R$을 perfectoid $K$-algebra라고 할 때

$R_{\text{fet}}\cong (R^{a})_{\text{fet}}\cong (R^{a}/\pi )_{\text{fet}}\cong ((R^{a})^{\flat }/\pi )_{\text{fet}}\cong ((R^{a})^{\flat })_{\text{fet}}\cong R_{\text{fet}}^{\flat }$

를 생각한다. 여기에서 가장 중앙에 있는 것은 당연하고, 바로 주위에 있는 둘은 tilt 정의할 때 소개했던 cotangent complex를 쓰면 된다. 그러면 가장 문제는 가장 바깥쪽에 있는 둘인데, 이 둘도 equivalence다. 다만 이 둘의 증명은 어렵다.

가장 왼쪽에서 $R$가 field일 때만 증명하자면 다음을 증명하자.

Proposition. perfectoid field $K^{\flat }$이 algebraically closed라면 $K$는 algebralically closed다.

Proof monic irreducible polynomial $P(X)=X^{d}+a_{d-1}X^{d-1}+\cdots +a_{0}$을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 $P$의 Newton polygon은 line이고 이제 $K^{\circ }/\pi$에서 보자. $Q(X)$를 $K^{\circ }/\pi$에서 봤을 때 $P$하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 $y_{1}$라고 하자. 그러면 다항식 $P(X+y^{\sharp })$를 생각하고 이것의 상수항이 $\pi$에 의해서 나누어지므로, 그러니까 $y_{1}^{\sharp }$가 대충 $P$의 근사해가 되므로 $|c_{1}|^{d}=|P(y_{1}^{\sharp })|\leq |\pi |$인 $c_{1}$에 대해서 $P_{1}(X)=c_{1}^{-d}P(c_{1}X+y_{1}^{\sharp })$ 또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면

$y=y_{1}^{\sharp }+c_{1}y_{2}^{\sharp }+c_{1}c_{2}y_{3}^{\sharp }+\cdots$

라고 정의하면 $P(y)=0$가 된다.

이 성질을 이용해서 젖히기의 반대인 untilt를 하는데, 그 젖히기의 반대를 $K^{\sharp }$라고 쓰자. 그러면 $K^{\sharp }$의 대수적 폐포의 completion을 $M$라고 한다면 $M^{\sharp }$는 위의 proposition으로 algebraically closed field에 적당한 norm을 주는 것으로 perfectoid $K$-algebra라고 할 수 있다. 따라서 모든 perfectoid $K^{\sharp }$-algebra $L$에 대해서 $L^{\sharp }$는 $M^{\sharp }$의 subfield가 되고, $\bigcup L^{\sharp }$는 $M^{\sharp }$에서 dense이므로 Krasner's lemma로 그 union을 $N$라고 하면 $N$도 algebraically closed field고 따라서 모든 finite extension $F$에 대해서 $F$는 적당한 $K^{\flat }$의 finite field extension $L$가 있어서 $L^{\sharp }$는 $F$를 포함하고, 체일 때의 증명이 끝난다.

퍼펙토이드 공간(perfectoid space)

먼저 아피노이드 대수(affinoid algebra)를 정의하자. $k$가 체일 때 $R$가 테이트 $k$-대수(Tate k-algebra)란 것은 어떤 부분환 $R_{0}\subseteq R$가 있어서 $aR_{0}$가 $a\in k^{\times }$들에 대해서 $0$의 열린 근방들의 기저를 이룰 때를 말한다. 그리고 쌍 $(R,R^{+})$가 아피노이드 $k$-대수란 것은 그 자체의 환과 정폐정역 $R^{+}\subseteq R$의 쌍이다.

$K$가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 아피노이드 $K$-대수 $(R,R^{+})$가 퍼펙토이드 아피노이드 $K$-대수란 것은 $R$이 퍼펙토이드 $K$-대수인 것을 뜻한다.

퍼펙토이드 아피노이드 $K$-대수 $(R,R^{+})$가 있을 때 다음을 정의할 수 있다.

$X=\mathrm {Spa} (R,R^{+}):=\{|\cdot |:R\to \Gamma \cup \{0\}{\text{ continuous valuation }}|{\text{ There exists }}f\in R^{+}{\text{ s.t. }}|f|\leq 1\}$

그리고 여기에 위상을 하나 주는데, $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n},g\in R$를 주고, $f_{1},\cdots ,f_{n}$가 $R$를 생성한다고 할 때

$U\left({\frac {f_{1},\cdots ,f_{n}}{g}}\right):=\{x\in X|{\text{There exists }}i{\text{ s.t. }}|f_{i}(x)\leq |g(x)\}$

를 기저로 하는 것으로 준다. 그리고 이런 꼴 열린 집합을 유리형 집합이라고 하자. 이는 환의 스펙트럼과 거기에 주는 $D(f)$라는 열린 집합들을 따라한 것이다.

$(R,R^{+})$가 아피노이드 $k$-대수라고 하자. 그리고 여기에 $\mathrm {Spa} (R,R^{+})$의 열린 집합 $U=U\left({\frac {f_{1},\cdots ,f_{n}}{g}}\right)$를 주자. 그러면

$aR_{0}\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]$

꼴들을 $0$의 기저로 가지는 다음 아피노이드 $k$-대수를 생각하자.

$U=\mathrm {Spa} \left(R\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right],B\right)$

여기에서 $B$는 $R\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]$ 안에서 $R^{+}\left[{\frac {f_{1}}{g}},\cdots ,{\frac {f_{n}}{g}}\right]$의 정수적 폐포다. 그러면 이것의 완전화를 $({\mathcal {O}}_{X}(U),{\mathcal {O}}_{X}^{+}(U))$라고 하자. 이는 시프를 정의하기 위해서다. 그렇다면 일반적으로 열린 집합 $W\subseteq X$에 대해서

${\mathcal {O}}_{X}(W)=\lim _{\overset {\longleftarrow }{U\subseteq W{\text{ rational }}}}{\mathcal {O}}_{X}(U)$

라고 정의하자. 그렇다면 $X$ 위의 준시프 ${\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {O}}_{X}^{+}$를 정의할 수 있다.

다시 퍼펙토이드 아피노이드 $K$-대수 $(R,R^{+})$로 돌아오면 ${\mathcal {O}}_{X}$가 시프라는 결과가 있다. (퍼펙토이드가 아니면 일반적으로 준시프만 되고 시프가 되지 않을 수도 있다.)

팔팅스의 거의 순수성 정리(Faltings' almost purity theorem)

유한 에탈 덮개 $S/R$에 대해서 $R$가 퍼펙토이드 $K$-대수라면 $S^{\circ a}$는 $R^{\circ a}$위의 유한 에탈 대수가 된다. 특히 $S^{\circ a}$는 $R^{\circ a}$ 위의 균등 거의 유한표현 $R^{\circ a}$-모듈이 된다.

참고 문헌

• Scholze, Peter (2011). “Perfectoid space”.