하방미분

수학에서 하방미분(subdifferential, subderivative)은 미분을 일반화하여 미분가능하지 않은 볼록 함수에 적용할 수 있도록 하는 방법이다. 볼록 최적화 등 볼록 함수를 연구하는 해석에서 중요하게 사용된다.

한 볼록함수(파란색)의 x₀에서의 '하방미분계수'들을 기울기(빨간색)로 나타낸 그래프.

정의

볼록함수 $f:I\to \mathbb {R}$가 있을 때, I의 점 x₀에서의 하방미분계수는,

$f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})$

가 I의 모든 점 x에 대해 성립하게 하는 실수 c를 가리킨다.

x₀에서의 하방미분계수가 되는 실수는 하나가 아닐 수 있으며, 사실 그 값들의 집합은 닫힌 구간 [a, b]의 꼴로서, 여기서 a, b는 각각

$a=\lim _{x\to x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

$b=\lim _{x\to x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

가 된다. 이러한 닫힌 구간 [a, b]의 유일한 존재는 보장되며, 이 집합을 x₀에서의 하위미분이라 한다.

예시

볼록함수인 f(x) = |x|는 본래 x = 0에서 미분불가능하지만 하방미분법을 사용하면 원점에서 하위미분이 [-1,1]이라는 닫힌 구간이 됨이 보여질 수 있다. 또한 이때 x<0인 모든 x점에서 {-1}이라는 한원소 집합이 하위미분이 되고, x>0인 모든 점에서는 {1}이 하위미분이 된다.

성질

• 볼록함수 $f:I\to \mathbb {R}$은 $x_{0}$에서 하방미분 집합이 한원소 집합인 경우에만 미분가능하고, 그 한원소집합의 원소가 일반 미분값이다.
• x₀의 하방미분 집합에 0이 포함되어 있으면 그 점은 함수의 최소점이 된다.
• 함수의 하방미분을 $\partial$로 나타낼때 볼록함수 $f,g$에 대해 $\partial (f+g)(x)=\partial f(x)+\partial g(x)$이다.

하방기울기

하방미분의 개념은 다변수 함수에도 적용될 수 있다. 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 볼록 열린 집합에서 정의된 볼록 실함수 $f:U\to \mathbb {R}$이 있을 때 x₀에서의 하방기울기(subgradient)는

$f(x)-f(x_{0})\geq v\cdot (x-x_{0})$ ($\cdot$은 스칼라곱)

가 U의 모든 점 x에 대해 성립하게 하는 벡터 $v$이다. 일변수함수와 마찬가지로 하방기울기값들의 집합을 하위미분이라 한다. 이때 하방미분 집합은 항상 볼록 컴팩트 집합이다.

역사

하방미분법은 1960년대 초에 J. J. Moreau와 R. T. Rockafellar에 의해 처음 도입되었다. 1980년대에는 F. H. Clarke에 의해 이를 더욱 일반화하여 볼록함수가 아닌 경우에 대해서도 적용하는 방법이 고안되었다.

같이 보기

• 미분
• 약도함수
• 볼록 최적화