해석학 에서 약도함수 (弱導函數, 영어 : weak derivative )는 일반적인 도함수 의 개념의 일반화이다. 이를 통하여 고전적으로 도함수를 취할 수 없는 함수들의 도함수를 취할 수 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
(매끄러운) 벡터장
X
∈
Γ
(
T
M
)
{\displaystyle X\in \Gamma (\mathrm {T} M)}
두 함수
f
,
g
∈
L
1
(
M
,
R
)
{\displaystyle f,g\in \operatorname {L} ^{1}(M,\mathbb {R} )}
만약 다음 조건이 성립한다면,
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
X
{\displaystyle X}
약도함수 라고 한다.
∫
M
u
g
det
g
d
dim
M
x
=
−
∫
M
(
∇
X
u
)
f
det
g
d
dim
M
x
∀
u
∈
C
comp.supp.
∞
(
M
,
R
)
{\displaystyle \int _{M}ug{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} ^{\dim M}x=-\int _{M}(\nabla _{X}u)f{\sqrt {\det g}}\,\mathrm {d} ^{\dim M}x\qquad \forall u\in {\mathcal {C}}_{\text{comp.supp.}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )}
여기서
C
comp.supp.
∞
(
M
,
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{comp.supp.}}^{\infty }(M,,\mathbb {R} )}
콤팩트 지지 매끄러운 함수 들의 공간이다.
이는 흔히
g
=
∇
X
f
{\displaystyle g=\nabla _{X}f}
로 표기된다.
만약
M
=
R
n
{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}
∂
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial /\partial x^{i}}
약도함수는
L
1
{\displaystyle \operatorname {L} ^{1}}
르베그 공간 속에서 유일하다.
C
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}
실수선 위의 절댓값 함수
x
↦
|
x
|
{\displaystyle x\mapsto |x|}
의 약도함수는 부호 함수
x
↦
{
1
x
>
0
−
1
x
<
1
{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}1&x>0\\-1&x<1\end{cases}}}
(의 르베그 공간 에서의 동치류 )이다.
x
=
0
{\displaystyle x=0}
르베그 공간 속의 같은 동치류 에 속한다).
실수선 위의, 유리수 집합의 지시 함수
f
∈
L
1
(
R
,
R
)
{\displaystyle f\in \operatorname {L} ^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
f
(
x
)
=
[
x
∈
Q
]
{\displaystyle f(x)=[x\in \mathbb {Q} ]}
를 생각하자 (
[
⋯
]
{\displaystyle [\dotsb ]}
아이버슨 괄호 ). 이는 어디서나 연속 함수 가 아니며, 따라서 어디서나 도함수를 갖지 않는다. 그러나 이 함수는 약도함수를 가지며, 이는 상수 함수 0이다. 사실, 유리수 집합의 측도가 0이므로, 르베그 공간 에서
f
{\displaystyle f}
상수 함수 와 같은 동치류 에 속한다.
칸토어 함수 는 거의 어디서나 도함수를 갖지만, 약도함수를 가지지 않는다. 칸토어 함수의 도함수는 분포 로서 존재하지만, 이 분포는 L1 르베그 공간 의 원소로 나타내어질 수 없다.
Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). 《Elliptic partial differential equations of second order》. Berlin: Springer. 149쪽. ISBN 3-540-41160-7 Evans, Lawrence C. (1998). 《Partial differential equations》. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 242쪽. ISBN 0-8218-0772-2 Knabner, Peter; Angermann, Lutz (2003). 《Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations》. New York: Springer. 53쪽. ISBN 0-387-95449-X 
![{\displaystyle f(x)=[x\in \mathbb {Q} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7c57098e8487e02980cc38db2c76f9ee222da5)
![{\displaystyle [\dotsb ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cad2b00290e9ed04c9f2deb633f35a751c39083)