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행렬 지수 함수

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행렬 지수 함수(行列指數函數, matrix exponential)란 정사각행렬에 대한 일종의 지수 함수다.

정의편집

행렬 지수 함수  정사각행렬을 다른 정사각행렬로 보내는 행렬 함수다. 다음과 같은 급수로 정의한다.

 .

이는 복소수 지수 함수의 테일러 급수   와 같은 꼴이다. 위의 급수는 항상 수렴하므로, 행렬 지수는 항상 존재한다.

성질편집

행렬 지수 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. 여기서 대문자는 임의의 정사각행렬, 소문자는 임의의 복소수를 의미한다.

  •   (단위행렬)
  • 만약  이면,  .
    • 위 성질의 특수한 경우로,  .
    • 단, 일반적으로 가환하지 않는 두 행렬의 경우  .
  • 만약  가역행렬이라면,  .
  •  .
    • 따라서,  이고, 행렬 지수는 항상 가역행렬이다.

행렬 지수 함수를 미분방정식으로도 나타낼 수 있다. 즉, 다음 초기조건문제

 
 

의 해는

 

이다.

같이 보기편집

외부 링크편집