극한

(수렴에서 넘어옴)

해석학위상수학에서 극한(極限, 영어: limit) 또는 극한값(極限-)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 수렴(收斂, 영어: convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산(發散, 영어: divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.

일반적으로 xc로 갈 때 함수 f(x)의 극한이 L임을 아래처럼 표현한다.

이는 xc와 충분히 가까워질수록 f(x)L에 원하는 만큼 가까워질 수 있음을 의미한다. "일 때 이다"라고 쓰기도 한다.

정의

편집

필터

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간  
  •  부분 집합들의 필터 기저  
  •  

만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저  가 점  로 수렴한다(영어: the filter base   converges to the point  )고 하며,   극한이라고 한다. 이를  라고 쓴다.

  •  . 즉, 임의의 근방  에 대하여,   가 존재한다. (여기서   근방 필터이며,   상폐포다.)

다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면   집적점(集積點, 영어: cluster point)이라고 한다.

  •  . (여기서   폐포다.)
  •  이며  필터 기저  가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

필터 기저  의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물

 
 

의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다.

 

그물과 점렬

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간  
  • 그물  
  •  

만약 다음 조건이 성립한다면, 그물  가 점  로 수렴한다(영어: the net   converges to the point  )고 하며,   극한이라고 한다. 이를  라고 쓴다.

  • 임의의 근방  에 대하여,   가 존재한다.

다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면   집적점이라고 한다.

  • 임의의 근방   에 대하여,   이 존재한다.
  •  상향 원순서 집합  단조 공종 함수  가 존재한다.
  •  이며  상향 원순서 집합  함수  가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

그물  의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저

 

의 극한·집적점과 일치한다.

그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물    꼴의 함수다.  에 한 점을 추가한 집합   위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든  고립점이며,  열린 근방은 ( 와)   꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,

 

이며, 그 그물에 대한

 

은 그물로 유도되는 필터 기저와 같은 필터를 생성한다. 따라서,   에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.

  위의 전순서에 의하여, 점렬은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한·집적점은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 집적점은 부분 점렬의 극한과 동치다.

실수열

편집

특히, 실수로 구성된 수열  의 극한을 생각할 수 있다.  의 위상의 정의에 따라,   의 극한이라는 것은 다음 조건이 성립함을 의미한다.

  • 임의의 양의 실수  이 주어졌을 때, 자연수  이 존재하여 모든  에 대하여  을 만족한다.

이를 아래와 같이 나타낸다.

 

수열이 극한을 가질 때, 수열이 수렴한다고 말한다. 수열이 수렴하지 않으면 발산한다고 한다.  하우스도르프 공간이므로, 수렴하는 실수열은 오직 하나의 극한값만을 가진다.

함수

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간  ,  
  •  
  • 함수  
  •  

그렇다면,  빠진 근방들의 집합족

 

 부분 집합들의 필터를 이루며, 따라서 그   부분 집합들의 필터 기저를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수  가 점  에서 점  로 수렴한다(영어: the map   converges to the point   at the point  )고 하며,    에서의 극한이라고 한다. 이는

 

라고 쓴다.

  •   으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방  에 대하여,  근방  이 존재한다.

 실수선일 때,   대신

 
 

을 사용하면   에서의 좌극한(左極限, 영어: left limit우극한(右極限, 영어: right limit)의 개념을 얻는다.

실함수

편집

특히, 열린구간   에 대하여, 함수  의 극한을 정의할 수 있다. 실수의 위상에 따라,    에서의 극한인 것의 정의는 다음과 같다.

  • 임의의  에 대하여,  가 존재하여, 만약   을 만족하면  을 만족한다.

즉,   와 충분히 가깝게 함으로써   과와 원하는 만큼 가까워지게 할 수 있음을 의미한다. 함수의 극한을 이렇게 엄밀하게 정의하는 방법은 역사적으로 엡실론-델타 논법으로 불린다. 정의에 따라,  에서  의 극한은   부근에서의 함숫값에만 영향을 받을 뿐  가 어떤 값을 가지는지와는 무관하다. 심지어  에서 함숫값이 정의되어 있지 않더라도 극한은 존재할 수 있다. 함수의 공역  하우스도르프 공간이므로, 함수의 극한은 유일하다. 이를

 

와 같이 나타낸다.

성질

편집

존재와 유일성

편집

필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간쌍대 유한 집합들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간의 모든 부분 집합들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

특히, 콤팩트 공간의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 
 
 
 

(일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)

시작 위상

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 집합  
  • 위상 공간들의 족  
  • 함수 
  •  부분 집합들의 필터 기저  
  •  

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

  •   위에 모든  들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 시작 위상을 부여하였을 때,  
  • 임의의  에 대하여,  

특수한 경우들은 다음과 같다.

부분 공간

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

  •  
  •  에서  

즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.

곱공간

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간들의 집합  .  가 그 곱공간,  가 사영 함수들이라고 하자.
  •  부분 집합들의 필터 기저  
  •  

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

  •  
  • 임의의  에 대하여,  

즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.

이중 극한

편집

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간  ,  
  • 정칙 하우스도르프 공간  
  • 함수  
  •   ( )

이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.

  • 극한  이 존재한다.
  • 임의의  에 대하여, 극한  이 존재한다.

그렇다면, 이중 극한

 

이 존재하며,

 

이다.

증명:

 
 

이라고 하자. 임의의 근방  에 대하여, 근방   이 존재하며,

 

가 성립한다. 여기에  를 취하면

 

를 얻는다. 정칙성에 따라,  닫힌 근방들은 국소 기저를 이룬다. 따라서,

 

이다.

같이 보기

편집

참고 문헌

편집
  • Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003. 

외부 링크

편집