선형 대수학에서 힐베르트(Hilbert , 1894 )에 의해 소개된 힐베르트 행렬(Hilbert matrix)은 엔트리 성분이 단위 분수인 정사각 행렬이다.
![{\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91183b0439255858a9ce6f37cac7865f1354163d)
예를 들어, 이것은 5 × 5 힐베르트 매트릭스 행렬이다.
![{\displaystyle H={\begin{pmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\[4pt]{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\[4pt]{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\[4pt]{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}&{\frac {1}{9}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1010e243eb1c165ac48c4976d934dbc260ac87da)
힐베르트 행렬은 적분으로부터 유도된 것으로 간주 될 수있다.
![{\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e05d676aef54b9bb80f51f829842598aa4ec78)
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힐버트 (Hilbert)는 힐버트 행렬의 행렬식이 정수의 역수라는 흥미로운 사실을 이미 언급했다.[1]
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또한 동일성에서 팩토리얼에 대한 스털링 근사를 사용하면 다음과 같은 점근선 결과를 얻을 수 있다.
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여기서 an 은 상수로 수렴한다.
- 일 때 과 같다.
여기서 A는 글레이셔-킨켈린 상수이다.
힐베르트 행렬의 역함수는 이항 계수를 사용하여 닫힌 형태로 나타낼 수 있다. 이것의 입장이라면,
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여기서 n 은 행렬의 차수이다[2] 따라서 역행렬의 엔트리는 모두 정수이다.
n -by-H 힐버트 행렬의 조건 수는 다음과 같이 증가한다.
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