E8 격자

수학에서 E₈ 격자는 $\mathbb {R} ^{8}$의 유일한 양의 정부호 짝 유니모듈러 격자이다. 이름은 E₈ 근계의 근 격자라는 사실에서 지어졌다.

E₈ 격자의 노름은 8개의 변수에서 양의 정부호 짝 유니모듈러 이차 형식이며, 역으로 이러한 이차 형식은 계수 8의 양의 정부호 짝 유니모듈러 격자를 구성하는 데 사용할 수 있다. 이러한 이차 형식의 존재는 1867년에 헨리 존 스티븐 스미스에 의해 처음으로 제시되었으며, 이 이차 형식의 첫 번째 명시적 구성은 1873년에 알렉산드르 코르킨과 예고르 졸로타레프에 의해 주어졌다. E₈ 격자는 1900년경 격자 자체의 기하학을 최초로 연구한 소롤드 고셋의 이름을 따서 고셋 격자라고도 한다.

격자점

E₈ 격자는 $\mathbb {R} ^{8}$를 생성하는 이산 부분군이다. E₈ 격자는 다음과 같은 점 집합 Γ₈ ⊂ R⁸에 의해 명시적으로 구성될 수 있다.

• 모든 좌표가 정수이거나 모든 좌표가 반정수이다. 정수와 반정수의 혼합은 허용되지 않는다.
• 8개 좌표의 합은 짝수이다.

기호로 쓰면 다음과 같다.

$\Gamma _{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$

E₈ 격자의 다른 구성은 다음과 같은 점 집합 Γ′₈ ⊂ R⁸에 의한 것이다.

• 모든 좌표가 정수이고 좌표의 합이 짝수이다.
• 또는, 모든 좌표가 반정수이고 좌표의 합은 홀수이다.

기호로 쓰면 다음과 같다.

$\Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.$$\Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2)\right\}\cup \left\{(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2)\right\}.$

격자 Γ₈ 및 Γ′₈ 은 동형이며 홀수 개의 임의의 반정수 좌표의 부호를 바꾸어 하나에서 다른 것으로 사상할 수 있다. 격자 Γ₈ 은 E₈에 대한 짝 좌표계라고 하고, 격자 Γ′₈은 홀 좌표계라고 한다. 달리 지정하지 않는 한 짝 좌표계를 사용한다.

성질

E₈ 격자 Γ₈ 은 다음과 같은 성질을 가진 $\mathbb {R} ^{8}$의 유일한 격자이다.

• 정수 격자이다. 즉, 모든 격자점 쌍의 스칼라 곱이 정수이다.
• 유니모듈러 격자이다. 즉, 행렬식 ±1인 8 × 8 행렬의 열에 의해 생성될 수 있다. 동치 조건으로, Γ₈ 은 자기 쌍대적이다. 즉, 쌍대 격자와 같다.
• 이는 짝 격자이다. 즉, 모든 격자점의 노름이 짝수임을 의미한다.

짝 유니모듈러 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 발생할 수 있다. 16차원에는 Γ₈ ⊕ Γ₈ 과, Γ₈ 과 유사한 방식으로 구성된 Γ₁₆의 두 가지 격자가 있다. 차원 24에는 Niemeier 격자라고 하는 격자가 24개 있다. 이들 중 가장 중요한 것은 리치 격자이다.

다음 (상삼각)행렬의 열은 Γ₈의 기저이다.

$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right]$

Γ₈ 은 이러한 벡터의 정수 생성이다. 모든 가능한 기저는 이 행렬에 GL(8, Z) 원소의 오른쪽 곱셈을 하여 얻어진다.

Γ₈에서 0이 아닌 가장 짧은 벡터의 길이는 √2이다. 이러한 벡터는 240개 존재한다.

• 모두 반정수 (±1/2만 가능):
  • 모두 양수 또는 모두 음수: 2가지
  • 양수 4개, 음수 4개: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70가지
  • 양수 2개와 음수 6개, 또는 양수 6개와 음수 2개: 2*(8*7)/(2*1) = 56가지
• 모든 정수 (0, ±1만 가능):
  • ±1 2개, 0 6개: 4*(8*7)/(2*1)=112가지

이들은 유형 E₈의 근계를 형성한다. 격자 Γ₈ 은 E₈ 근 격자와 동일하며, 이는 240개의 근의 정수 생성임을 의미한다. 8개의 단순근을 선택하면 Γ₈의 기저가 된다.

구 채우기 및 입맞춤 수

E₈ 격자는 8차원 구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제에 대한 최적해이다.

구 채우기 문제는 $\mathbb {R} ^{n}$에서 같은 반지름을 가진, 속이 찬 n차원 구를 두 구가 겹치지 않도록 채우는 방법 중 가장 조밀한 것에 대한 문제이다. 격자 채우기(lattice packing)는 모든 구를 격자점의 중심에 배치하는 특수한 유형의 구 채우기이다. 반경이 1/√2인 구를 E₈ 격자점에 배치하면 밀도 ${\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367$인 $\mathbb {R} ^{8}$의 격자 채우기를 얻는다.

Hans Frederick Blichfeldt는 1935년 논문을 통해 이는 8차원의 격자 채우기에 의해 달성될 수 있는 최대 밀도임을 증명하였다. 또한 E₈ 격자는 등각투영 및 스칼라배 변형을 고려하지 않는다면 이 밀도를 가진 유일한 격자이다. 마리나 뱌조우스카는 2016년에 이 밀도가 실제로 불규칙한 채우기 사이에서도 최적임을 증명하였다.

입맞춤 수 문제는 같은 반지름의 중심 구에 닿을 수 있는 고정된 반지름의 구의 최대 수를 묻는 문제이다. 위에서 언급한 E₈ 격자 채우기에서 주어진 구는 이웃한 240개의 구와 접촉하는데, 0이 아닌 최소 노름인 2를 노름으로 갖는 격자점이 240개 있기 때문이다. 이는 1979년에 8차원에서 가능한 최대 수라는 것이 밝혀졌다.

구 채우기 문제와 입맞춤 수 문제는 매우 어렵고 최적해는 1, 2, 3, 8 및 24차원에서만 알려져 있다. (입맞춤 수 문제의 경우 4차원에서도 알려져 있다.) 8차원과 24차원에서 해가 알려져 있다는 사실은 부분적으로 E₈ 격자와, 이와 유사한 24차원 격자인 리치 격자의 특수한 성질에서 비롯된다.

세타 함수

어떤 (양의 정부호) 격자 Λ를 다음과 같이 주어진 세타 함수와 연관시킬 수 있다.

$\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.$

격자의 세타 함수는 상반평면 위의 정칙 함수이다. 게다가, 계수 n의 짝 유니모듈러 격자의 세타 함수는 실제로 가중치 n/2의 모듈러 형식이다. 정수 격자의 세타 함수는 종종 $q=e^{i\pi \tau }$에 대한 멱급수로 작성되고, 이때 qⁿ의 계수는 노름 n인 격자점의 개수이다.

정규화해서 같은 형식을 같다고 간주하면 가중치 4와 레벨 1을 갖는 모듈러 형식은 아이젠슈타인 급수 G₄(τ)가 유일하다. E₈ 격자에 대한 세타 함수는 G₄(τ)에 비례해야 한다. 정규화는 노름 0인 벡터가 유일하다는 점을 사용하여 수정할 수 있고, 이를 통해

$\Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}$

를 얻는다. 여기서 σ₃(n)은 약수 함수이다. 따라서 노름 2n의 E₈ 격자 벡터의 수는 n의 약수의 세제곱의 합의 240배이다. 이 급수의 처음 몇 가지 항은 (OEIS의 수열 A004009)이다.

$\Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).$

E₈ 세타 함수는 다음과 같이 야코비 세타 함수로 작성할 수 있다.

$\Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)$

$\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.$

응용

1982년 마이클 프리드먼은 교차 형식이 E₈ 격자로 주어지는 E₈ 다양체라고 하는 4차원 다양체를 구성하였다. 이는 매끄러움 구조와 삼각화가 존재하지 않는 다양체의 예이다.

끈 이론에서 잡종 끈은 26차원 보손 끈과 10차원 초끈의 독특한 하이브리드이다. 이론이 올바르게 작동하려면 16개의 일치하지 않는 차원이 순위 16의 짝 유니모듈러 격자에서 압축되어야 한다. 이러한 격자는 Γ₈⊕Γ₈ 와 Γ₁₆ 두 가지가 있다. 이는 E₈×E₈ 잡종 끈과 SO(32) 잡종 끈으로 알려진 두 가지 버전의 잡종 끈으로 이어진다.

같이 보기

• 리치 격자
• E₈ (수학)
• 반정규 E-폴리토프

각주

• Conway, John H.; Sloane, Neil J. A. (1998). 《Sphere Packings, Lattices and Groups》 3판. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9. 
• Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003). 《On Quaternions and Octonions》. Natick, Ma.: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.  Chapter 9 contains a discussion of the integral octonions and the E₈ lattice.