보손 끈 이론

보손 끈 이론(boson끈理論, 영어: bosonic string theory)은 초대칭을 도입하지 않은 끈 이론이다.

전개

끈이란 시공을 통해 움직이는 1차원의 개체다. 고리 모양인 (원과 동형인) 닫힌 끈(영어: closed string)과 끊어진 (선분과 동형인) 열린 끈(영어: open string)이 있다. 따라서 끈은 (0+1차원의 세계선을 지니는 점입자와 달리) 1+1차원의 세계면으로 나타내어진다. 1+1차원의 세계면은 두 좌표로 나타낼 수 있다. 세계면 좌표를 $\xi ^{a}$ ($a\in \{0,1\}$)로 쓰자. 세계면 좌표는 단위를 쓰지 않는다 (무차원).

끈은 시공간 안에 존재한다. 시공간을 1차원의 시간과 $D-1$ 차원의 공간으로 이루어져 있다고 가정하자. (관측에 따르면 $D=4$이나, 보손 끈 이론은 추가 차원을 필요로 한다.) 시공의 좌표를 $X^{\mu }$ ($\mu \in \{0,1,\dots ,D-1\}$)로 쓰자. 시공간의 계량 텐서를 $G_{\mu \nu }$로 표기하자.

끈의 시공 속의 위치를 매장 $X^{\mu }(\xi ^{a})$로 나타낼 수 있다. 시공의 계량 텐서로부터 세계면 계량 텐서

$h_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }G_{\mu \nu }$

를 정의할 수 있다.

작용

끈을 다루는 가장 간단한 작용은 난부-고토 작용

$S[X^{\mu }]=-T\int d^{2}\xi \;{\sqrt {-\det h}}$

이나, 이는 제곱근 때문에 양자화가 어렵다. 따라서 세계면 계량 텐서를 보조장으로 승격시킨 폴랴코프 작용

$S[X^{\mu },h_{ab}]=-{\frac {1}{2}}T\int d^{2}\xi \;{\sqrt {-\det h}}h^{ab}\partial _{a}X\cdot \partial _{b}X$

를 쓴다. 여기서 $T=1/(2\pi \alpha ')$는 작용을 무차원화시키기 위한 상수로서, 끈의 장력 또는 에너지 밀도를 나타낸다. $\alpha '$는 레제 기울기(영어: Regge slope) 또는 "알파 프라임"으로 불리는 상수다.

보다 일반적으로, 보손 끈은 일반적으로 운동 방정식

$p^{2}=0$

만으로 결정된다.^:§2 (여기서 $p^{\mu }$는 끈 전체의 운동량이다.) 이로부터 작용을 다음과 같이 재구성할 수 있다. 좌표 $\xi =(\tau ,\sigma )$에 대하여, 세계면 위의, $\partial _{a}X^{\mu }$에 대응하는 정준 운동량장 $P_{a}^{\mu }(\xi )$를 정의하자. 그렇다면, 작용

$S\propto \int \mathrm {d} ^{2}\xi {\sqrt {-\det h}}h_{ab}g^{\mu \nu }(X(\xi ))P_{\mu }^{a}(\xi )P_{\nu }^{b}(\xi )+P_{\mu }^{a}(\xi )\partial _{a}X^{\mu }(\xi )$

을 적을 수 있다. 여기서 첫째 항은 운동 방정식 $p^{2}=0$에서 오며, 둘째 항은 $P_{\mu }^{a}$와 $\partial _{a}X^{\mu }$ 사이의 정준 관계를 나타낸다. 이제, $P_{\mu }^{a}(\xi )$의 오일러-라그랑주 방정식은

$P_{\mu }^{a}(\xi )=-g_{\mu \nu }(X(\xi ))\eta ^{ab}\partial _{b}X^{\nu }$

가 된다. 이를 작용에 대입하면, 폴랴코프 작용

$S\propto \int \mathrm {d} ^{2}\xi {\sqrt {-\det h}}G_{\mu \nu }(X(\xi )\eta ^{ab}\partial _{a}X^{\mu }(\xi )\partial _{b}X^{\nu }(\xi )$

를 얻는다.

사실, 닫힌 끈의 경우, 끈의 공간 좌표 $\xi ^{1}=\sigma \in [0,2\pi )$라고 할 때, $P(\tau ,\sigma )$는 서로 상호작용하지 않는 두 개의 장 $P^{\pm }(\tau ,\sigma )$이다. 반면, 열린 끈의 경우, 공간 좌표가 $\xi ^{1}=\sigma \in [0,\pi ]$라고 할 때, 하나의 $P_{\mu }^{a}$가 $\sigma \in [-\pi ,\pi ]$에 정의되게 된다. 두 경우 모두, $P_{\mu }^{a}$는 원 위의 주기적 경계 조건을 만족시킨다. 즉, 닫힌 끈은 ($\sigma$의 범위를 무시하면) 서로 상호작용하지 않는 두 개의 열린 끈으로 취급할 수 있다.

게이지 대칭

보손 끈의 폴랴코프 작용은 세계면 계량 텐서 $h_{ab}$에 대한 미분 동형 사상 게이지 대칭을 가지며, 따라서 편의상 게이지 고정

$h_{ab}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

을 가할 수 있다. 사실, 흔히 빛원뿔 좌표계가 사용된다.

이 게이지 대칭은 작용 $L\propto \eta P^{2}+P\partial X$에서 생성원 $P^{2}(\sigma )$에 의하여 생성된다. 이것의 리 괄호는

$\left[{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ),{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ')\right]=\mathrm {i} \delta '(\sigma '-\sigma )\left({\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma )+{\frac {1}{2}}P^{2}(\sigma ')\right)$

이다.^:(2.2b) (여기서 $\delta '(-)$은 디랙 델타의 분포로서의 도함수이다.) 즉, 이는 일종의 아핀 리 대수를 이룬다.

이 게이지 대칭에 대응하는 BRST 연산자는 유령장 $C$에 대하여

$Q=\int \mathrm {d} ^{1}\sigma \,\left({\frac {1}{2}}P(\sigma )^{2}C(\sigma )+\mathrm {i} C'(\sigma ){\frac {\delta }{\delta C(\sigma )}}\right)$

이다.^:(2.4) 여기서, 서로 정준 교환 관계를 갖는 $C(\sigma )$, $\delta /\delta C$는 양자화 이후 $(c,b)$ 유령장에 대한 2차원 등각 장론을 이룬다.

방식 전개

폴랴코프 작용을 $h_{ab}=\operatorname {diag} (-1,1)$인 등각 게이지로서 풀면, 운동 방정식

$\square X^{\mu }=0$

과 게이지 조건

$(\partial _{0}\pm \partial _{1}X)^{2}=0$

을 얻는다. 운동 방정식은 단순히 파동 방정식이므로, 경계 조건이 주어지면 간단히 풀 수 있다. 우선 닫힌 끈의 경우 $X^{\mu }(\xi ^{0},\xi ^{1})=X^{\mu }(\xi ^{0},\xi ^{1}+2\pi )$의 주기성 (periodicity) 조건을 주자. 그리고 편의상 빛원뿔 좌표계

$\xi ^{\pm }=\xi ^{0}\pm \xi ^{1}$

를 정의하자. 그렇다면 파동 방정식의 해는 (왼쪽 방식(영어: mode)과 오른쪽 방식을 구분해 쓰면)

$X^{\mu }(\xi )=X_{\mathrm {L} }^{\mu }(\xi ^{+})+X_{\mathrm {R} }^{\mu }(\xi ^{-})$

$X_{\mathrm {L} }^{\mu }(\xi ^{+})={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}\alpha 'p^{\mu }+{\sqrt {\frac {\alpha '}{2}}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{+})\alpha _{n}^{\mu }$

$X_{\mathrm {R} }^{\mu }(\xi ^{-})={\frac {1}{2}}x^{\mu }+{\frac {1}{2}}\alpha 'p^{\mu }+{\sqrt {\frac {\alpha '}{2}}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{-})\beta _{n}^{\mu }$

이 된다. 여기서 $p^{\mu }$는 뇌터 정리를 쓰면 끈의 운동량임을 알 수 있다. 방식으로 전개한 이 표현에 게이지 조건 $(\partial _{\pm }X)^{2}=0$을 적용하면 임의의 $m\in \mathbb {Z}$에 대하여

$0=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{+})\alpha _{-n+m}\cdot \alpha _{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(-\mathrm {i} n\xi ^{-})\beta _{-n+m}\cdot \beta _{n}$

의 조건을 얻는다. (여기서

$\alpha _{0}^{\mu }=\beta _{0}^{\mu }={\sqrt {\frac {\alpha '}{2}}}p^{\mu }$

로 정의한다.) 이 가운데 $m=0$인 조건으로부터 끈의 질량 공식

$M^{2}=-p^{2}={\frac {4}{\alpha '}}\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{-n}\cdot \alpha _{n}={\frac {4}{\alpha '}}\sum _{n=1}^{\infty }\beta _{-n}\cdot \beta _{n}$

을 얻는다.

양자화

끈은 여러 가지 방법으로 양자화할 수 있으나, 그 가운데 빛원뿔 좌표계를 쓰는 양자화가 가장 간단하다. 우선, 시공의 빛원뿔 좌표

$X^{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X^{0}\pm X^{1})$

을 정의하자. 그리고 잉여 게이지 자유로

$X^{+}(\xi )=x^{\mu }+\alpha 'p^{\mu }\xi ^{0}$

으로 쓰자. 이렇게 쓰면 계의 자유도는 $x^{\pm }$, $p^{+}$, $x^{i},p^{i},\alpha ^{i},\beta ^{i}$ ($i\in \{2,\dots ,D-2\}$)이다. 다음에 바른틀 교환자 관계 (영어: canonical commutation relation)를 적용시킨다.

$[x^{i},p^{i}]=\mathrm {i} \delta ^{ij}$

$[x^{\pm },p^{\mp }]=-\mathrm {i}$

$[\alpha _{m}^{i},\alpha _{n}^{j}]=n\delta ^{ij}\delta _{m+n,0}.$

($p^{-}$는 계의 고전적 자유도가 아니므로, 이는 양자화한 뒤에 연산자식으로 구속한다.) 이렇게 쓰면 정렬 모호성(영어: ordering ambiguity)으로 인해 질량 공식이

$M^{2}={\frac {4}{\alpha '}}\left(-{\frac {D-2}{24}}+\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{-n}\cdot \alpha _{n}\right)={\frac {4}{\alpha '}}\left(-{\frac {D-2}{24}}+\sum _{n=1}^{\infty }\beta _{-n}\cdot \beta _{n}\right)$

가 된다. 여기서 연산자

$N=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{-n}\cdot \alpha _{n}$

${\tilde {N}}=\sum _{n=1}^{\infty }\beta _{-n}\cdot \beta _{n}$

을 준위(準位, 영어: level) 연산자로 부르고, 이들은 자연수의 고윳값을 갖는다. $N={\tilde {N}}=0$인 경우 $M^{2}<0$이므로 이는 타키온을 나타낸다. $N={\tilde {N}}=1$인 경우엔 로런츠 대칭을 위하여 $M^{2}=0$이어야 하므로, $D=26$임을 알 수 있다. 즉 보손 끈 이론의 임계 차원은 26차원이다. 이 경우 입자는 무질량 입자인데, 이는 스핀 2의 중력자 $G_{\mu \nu }$, 스핀 1의 캘브-라몽 장 $B_{\mu \nu }$ (영어: Kalb–Ramond field), 스핀 0의 딜라톤 $\Phi$을 포함한다. 이들을 통틀어 느뵈-슈워츠-느뵈-슈워츠 장 (영어: Neveu–Schwarz–Neveu–Schwarz field)으로 부른다. $N=2$이상의 입자는 질량이 $\propto 1/{\sqrt {\alpha '}}$이므로 (대략 플랑크 질량으로 추정) 너무 커 관측되지 않는다.

성질

보손 끈 이론은 끈 이론 가운데 가장 단순하여, 장난감 모형으로 쓰인다. 보손 끈 이론은 다음과 같은 특성을 지닌다.

• 보손 끈 이론은 초대칭이 없으므로 페르미온을 포함하지 않는다. 즉 오직 NS-NS 장만을 포함한다.
• 보손 끈 이론은 타키온을 포함한다. 따라서 보손 끈 이론의 진공은 자명하지 않으며, 그 참 진공은 아직 잘 밝혀지지 않았다. (이에 반하여 초끈 이론은 GSO 사영을 통하여 타키온을 없앨 수 있다.)
• 보손 초끈 이론은 임계 차원이 $26=3^{3}-1$차원이다. 즉, 26차원이 아닌 다른 차원에서는 일반적으로 로런츠 대칭을 보존하면서 유령 상태를 없앨 수 없다. (초끈 이론에서는 초대칭에 따른 $\beta$, $\gamma$ 유령 입자에 의하여 임계 차원이 10차원으로 줄어든다.)

역사

보손 끈 이론은 1960년대에 끈 이론 가운데 최초로 발견되었다. 이는 원래 강입자의 스펙트럼을 설명하기 위하여 등장하였다. 현대적인 용어로, 중간자를 구성하는 두 쿼크를 잇는 글루온은 마치 끈처럼 행동하며, 그 진동 모드 스펙트럼을 끈 이론으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 상수 $\alpha '$은 중간자의 질량-스핀 그래프의 기울기로 나타난다. $\alpha '$의 이름인 “레제 기울기”는 툴리오 레제의 이름을 땄으며, 여기서 유래하였다.

보손 끈 이론의 임계 차원이 26차원이라는 사실은 클로드 러블레이스(영어: Claud Lovelace, 1934~2012)가 1971년에 발견하였다.

외부 링크

• “Bosonic string”. 《nLab》 (영어).