납땜 (수학)

미분기하학에서 납땜(영어: soldering)은 올다발의 수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의 접다발 사이의 동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 올다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow M$. 또한, $E$ 역시 다양체라고 하자.

그렇다면, $E$의 납땜 $(o,\theta )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 단면 $o\in \Gamma (E)$
• 매끄러운 벡터 다발의 동형 $\theta \colon \mathrm {T} M\to o^{*}\mathrm {V} E$. 여기서 $\mathrm {V} E$는 $E$의 수직 벡터 다발이며, $o^{*}$는 벡터 다발의 당김이다.

이에 따라, $\theta$는 다음과 같은, $\mathrm {V} E$값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다.

$\theta \in \Omega ^{1}(M;o^{*}\mathrm {V} E)$

이를 납땜 형식(-形式, 영어: solder form)이라고 한다.

만약 $E$가 이미 매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로 $o\in \Gamma (E)$가 $o=0$이 되게 잡는다.

성질

다양체 $M$ 위의 매끄러운 올다발 $E$ 위에 납땜이 존재할 필요 조건은 $\dim E=2\dim M$인 것이다.

예

다양체 $M$ 위의 접다발 $\mathrm {T} M$은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우 $\mathrm {V} \mathrm {T} M=\mathrm {T} M$이다.)

리만 다양체

매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반화 리만 계량 $g$은, 공변접다발 $\mathrm {T} ^{*}M$ 위의 납땜 $(o,\theta )$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.

$o=0$이며, 임의의 $x\in M$ 및 $u,v\in \mathrm {T} _{x}M$에 대하여 $\theta (u)(v)=\theta (v)u$

위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은 $\theta$가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.

구체적으로, 일반화 리만 계량 $g$는 벡터 다발의 동형

$\theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M$

$\theta \colon (x,v)\mapsto \left(x,g(v,-)\right)$

을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜 $\theta \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M$이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량

$g(u,v)=\left(\theta (u)\right)(v)=\left(\theta (v)\right)(u)$

를 정의할 수 있다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상

$\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M$

$(x,v)\mapsto (x,\omega (v,-))$

은 공변접다발 $\mathrm {T} ^{*}M$ 위의 납땜을 정의한다.

연관 벡터 다발

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $G$-매끄러운 주다발 $P$
• $G$의 매끄러운 유한 차원 실수 표현 $\rho \colon V\to \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )$

이 경우, 연관 벡터 다발 $P\times _{G}V$를 구성할 수 있다. 이 경우, $P\times _{G}V$ 위의 납땜은 각 $x\in X$에 대하여 동형 사상

$\theta _{x}\colon \mathrm {T} _{x}M\to P\times _{G}V$

로 주어진다.

즉, 이 경우 납땜 형식 $\theta$는 $G$-등변 ${\mathfrak {g}}$값 1차 미분 형식

$\theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$

가운데, $\ker \theta =\mathrm {V} P$인 것이다. 특히, $\theta$는 수평 미분 형식이다.^:§5.1

이 경우, $(P,\rho ,\theta )$를 $M$ 위의 $G$-구조($G$-構造, 영어: $G$-structure)라고 한다.^:§5.1

만약 추가로 $\rho$가 충실한 표현(즉, 단사 함수)일 경우, 이 경우 $P$는 1차 틀다발 $\mathrm {F} ^{1}M$의 부분 주다발이 된다. 구체적으로, $p\in P$에 대응하는 틀은 다음과 같다.

$v\mapsto \theta _{\pi (x)}^{-1}([(p,v)])\qquad (v\in V)$

주다발

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 주다발 $P$의 납땜 $(o,\theta )$의 개념은 자명하다. 이는 단면 $o\in \Gamma (P)$의 존재에 따라 $P$가 대역적으로 자명한 주다발 $P=M\times G$이 되며, $\mathrm {V} P=P\times {\mathfrak {g}}$이므로 이에 따라

$\mathrm {T} M\cong M\times {\mathfrak {g}}$

가 되기 때문이다. 즉, 접다발 $\mathrm {T} M$ 역시 자명한 벡터 다발이 된다.

이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤 연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다.

외부 링크

• “G-structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Cartan connection”. 《nLab》 (영어). 
• “Integrability of G-structures”. 《nLab》 (영어). 
• “Torsion of G-structures”. 《nLab》 (영어). 
• “Torsion of a Cartan connection”. 《nLab》 (영어).