베유 대수

리 대수 이론에서, 베유 대수(Weil代數, 영어: Weil algebra)는 리 대수의 슈발레-에일렌베르크 대수에서, 고차 코호몰로지가 모두 없어지게 생성원들을 추가하여 얻는 미분 등급 대수이다. 대략, 리 군의 분류 공간 위의 주다발의 전체 공간에 해당하며, 이 때문에 리 대수 코호몰로지의 이론에서 중요한 역할을 한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 체 $K$
• $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$

그렇다면, ${\mathfrak {g}}$의 베유 대수는 다음과 같은 미분 등급 대수이다.

$\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})=\bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}[1])\cong \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

$\operatorname {W} ^{n}({\mathfrak {g}})=\bigoplus _{2p+q=n}\operatorname {Sym} ^{p}({\mathfrak {g}}^{*})\otimes _{K}\bigwedge ^{q}{\mathfrak {g}}^{*}$

여기서

• $({\mathfrak {g}}^{*}\oplus {\mathfrak {g}}^{*}[1])$는 등급이 1인 ${\mathfrak {g}}^{*}$와, 등급이 2인 ${\mathfrak {g}}^{*}[1]$의 직합으로 생성되는 외대수이다. (즉, 등급이 2인 것들은 서로 가환이며, 등급이 1인 것들은 서로 반가환이다.)

즉, $\textstyle \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$로의 표현에서, 외대수 성분의 생성원의 등급은 1이며, 대칭 대수 성분의 생성원의 등급은 2이다.

그 위의 미분 연산은 다음과 같다.

$\mathrm {d} =\mathrm {d} _{1}+\mathrm {d} _{2}$

여기서

• $\mathrm {d} _{1}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}[1]$은 외대수의 생성원을 대칭 대수의 생성원으로 대응시킨다. (이는 ${\mathfrak {g}}[1]$ 위에는 0으로 작용한다.)
• $\mathrm {d} _{2}$는 ${\mathfrak {g}}$의 슈발레-에일렌베르크 대수 $\textstyle \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})=\bigwedge {\mathfrak {g}}^{*}$의 미분이다. (이는 ${\mathfrak {g}}[1]$ 위에는 작용하지 않는다.)

성질

리 대수의 베유 대수의 코호몰로지는 등급 0을 제외하고는 모두 0이다. 이는 완전열

$K[{\mathfrak {g}}^{*}]^{\mathfrak {g}}\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$

에 속한다. 여기서

• $\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$는 ${\mathfrak {g}}$의 슈발레-에일렌베르크 대수이다.
• $K[{\mathfrak {g}}^{*}]^{\mathfrak {g}}$는 ${\mathfrak {g}}$ 위의 불변 다항식들의 대수이다.

이 완전열은 리 군 $G$의 분류 공간의 주다발

$G\hookrightarrow \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G$

의 무한소 형태이다.

역사

앙드레 베유의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Cartan, Henri (1951), 〈Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie〉, 《Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, 1950》, Georges Thone, Liège, 15–27쪽, MR 0042426  Reprinted in (Guillemin & Sternberg 1999)
• Guillemin, Victor W.; Sternberg, Shlomo (1999), 《Supersymmetry and equivariant de Rham theory》, Mathematics Past and Present, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64797-3, MR 1689252 

외부 링크

• “Weil algebra of a Lie algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Weil algebra”. 《nLab》 (영어).