불변 다항식

리 대수 이론에서, 불변 다항식(不變多項式, 영어: invariant polynomial)은 어떤 리 대수의 원소를 변수로 가지며, 그 딸림표현 작용에 대하여 불변인 다항식이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 쌍대 공간 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 위의 대칭 대수

$\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

를 생각하자. $\alpha \in \textstyle \operatorname {Sym} ^{n}{\mathfrak {g}}^{*}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\mathfrak {g}}$의 $n$차 불변 다항식이라고 한다.

$\sum _{i=0}^{n-1}\alpha (x_{0},x_{1},\dotsc ,[x_{i},x_{i+1}],\dotsc ,x_{n})=0$

${\mathfrak {g}}$ 위의 불변 다항식은 각 차수들의 불변 다항식들의 합이다.

베유 대수

유한형 (즉, 각 차수의 차원이 유한한) L∞-대수 ${\mathfrak {g}}$의 베유 대수(영어: Weil algebra) $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$는 다음과 같은 미분 등급 대수이다. 이는 미분 구조를 잊으면 자유 등급 가환 대수이며, ${\mathfrak {g}}^{*}$의 동차 원소 기저를 $t^{i}$라고 할 때, $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$의 생성원은 $t^{i}$ 및 $\delta t^{i}$이다 ($\deg \delta t^{i}=1+\deg t^{i}$). 또한, 그 미분은 다음과 같다.

$\mathrm {d} t^{i}=\mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}+\delta t^{i}$

$\mathrm {d} \delta t^{i}=-\delta \mathrm {d} _{\mathrm {CE} }t^{i}$

여기서 $\mathrm {d} _{\operatorname {CE} }$란 슈발레-에일렌베르크 대수 $\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$의 미분이다. 즉, 이는 $\delta ^{2}=\{\mathrm {d} ,\delta \}=0$을 따른다.

물론, 베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 전사 미분 등급 대수 준동형

$\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$

$t^{i}\mapsto t^{i}$

$\delta t^{i}\mapsto 0$

이 존재한다.

L_∞-대수의 불변 다항식

유한형 L_∞-대수 ${\mathfrak {g}}$의 불변 다항식은 베유 대수 $\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$의 원소 $\alpha \in \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$ 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.^{:Definition 4.1.13}

$\alpha \in \bigwedge \delta {\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})$

$\mathrm {d} _{\operatorname {W} ({\mathfrak {g}})}\alpha =0$

즉, 베유 대수의 닫힌 원소 가운데, $\delta {\mathfrak {g}}^{*}$만으로 생성되는 것이다.

이는 리 대수의 경우의 정의를 일반화한다. ${\mathfrak {g}}$가 리 대수인 경우, 불변 다항식은

$\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\subseteq \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \bigwedge ({\mathfrak {g}}^{*})$

의 원소이며, 여기서 불변 다항식 조건은 이 원소가 닫힌 원소라는 조건과 동치이다.

성질

리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 대하여,

$\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {W} ({\mathfrak {g}})\to \operatorname {CE} ({\mathfrak {g}})$

는 리 군 $G$의 분류 공간

$\mathrm {B} G\leftarrow \mathrm {E} G\leftarrow G$

의 (표수 0 특이 코호몰로지의) 모형이다. 즉, 그 (공사슬 복합체로서의) 코호몰로지는 이 위상 공간들의 (꼬임을 제외한) 특이 코호몰로지와 같다.

다시 말해,

$\operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {W} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {E} G)={\begin{cases}0&\bullet \neq 0\\K&\bullet =0\end{cases}}$

$\operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {CE} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(G;K)=\operatorname {H} _{\text{LieAlg}}^{\bullet }({\mathfrak {g}};K)$

$\operatorname {inv} ^{\bullet }({\mathfrak {g}})=\operatorname {H} _{\text{sing}}^{\bullet }(\mathrm {B} G;K)$

이다. ($\operatorname {inv} ({\mathfrak {g}})$의 원소들은 정의에 따라 모두 닫힌 원소이므로, 코호몰로지를 취할 필요가 없다.) 여기서 $\operatorname {H} _{\text{LieAlg}}^{\bullet }(-)$는 리 대수 코호몰로지이다.

예

체 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식

$B\in \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$

은 2차 불변 다항식이다. 즉,

$B(x,[y,z])-B([x,y],z)=0\qquad \forall x,y,z\in {\mathfrak {g}}$

이다.

단순 리 대수의 불변 다항식

계수 $n$의 단순 리 대수는 $n$개의 불변 다항식을 가진다. 그 차수는 다음과 같다.^{:59, §3.7}

단순 리 대수	불변 다항식의 차수
${\mathfrak {a}}_{n}$	2, 3, …, n+1
${\mathfrak {b}}_{n}$, ${\mathfrak {c}}_{n}$	2, 4, 6, …, 2n
${\mathfrak {d}}_{n}$	2, 4, 6, …, 2n−2, n
${\mathfrak {e}}_{6}$	2, 5, 6, 8, 9, 12
${\mathfrak {e}}_{7}$	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
${\mathfrak {e}}_{8}$	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
${\mathfrak {f}}_{4}$	2, 6, 8, 12
${\mathfrak {g}}_{2}$	2, 6

위 표에서, 첫 2차 불변 다항식은 항상 킬링 형식이다. “차수”란 다항식의 차수를 뜻한다. 이를 L∞-대수로 해석할 경우, 각 변수의 등급이 2이므로, L∞-대수로서의 등급은 다항식 차수의 2배이다. 이 수들은 해당 리 대수의 콤팩트 형식의 유리수 계수 특이 코호몰로지 환을 결정한다. 즉, 만약 불변 다항식의 차수가 $d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{r}$라면, 리 군의 특이 코호몰로지 환은 차수

$\deg x_{i}=2d_{i}-1$

의 $r$개의 생성원으로 생성되는 외대수이다. 특히,

$\dim G=\sum _{i=1}^{r}(2d_{i}-1)$

이다.

${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {su}}(n+1)$의 경우, 그 불변 다항식은 다음과 같은 꼴이다. 리 대수의 원소를 $(n+1)\times (n+1)$ 무대각합 반 에르미트 행렬로 표현할 경우,

$p_{k}(M)=\operatorname {tr} _{(n+1)\times (n+1)}(M^{k})$

이다. 만약 $k=1$인 경우는 (행렬이 무대각합이므로) $p_{1}=0$이 되며, $k\geq n+2$인 경우는 더 낮은 차수의 불변 다항식들의 곱의 합으로 표현될 수 있다.

${\mathfrak {so}}(n)$의 경우, 그 리 대수의 원소는 반대칭 $n\times n$ 행렬이며, 따라서 다음과 같은 불변 다항식을 적을 수 있다.

$p_{k}(M)=\operatorname {tr} (M^{k})$

이 경우 $k$가 홀수일 때 $p_{k}=0$이다. 즉, 짝수 차수만이 남게 된다. $n$이 홀수일 때 불변 다항식들은 $p_{2},\dotsc ,p_{n-1}$로 구성된다. $n=2m$이 짝수일 때는 추가로 $m$차 불변 다항식

$q(M)=\epsilon ^{i_{1}j_{1}i_{2}j_{2}\dotsb i_{m}j_{m}}M_{i_{1}j_{1}}\dotsm M_{i_{m}j_{m}}$

이 존재한다.

참고 문헌

• Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1973). 《Connections, curvature, and cohomology. Volume Ⅲ. Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces》 (영어). Academic Press. doi:10.1016/S0079-8169(08)60498-5. ISBN 978-0-12-302703-0. 

외부 링크

• “Invariant polynomial”. 《nLab》 (영어). 
• “Weil algebra”. 《nLab》 (영어).