수학에서, 가우스 함수(-函數, 영어: Gaussian function)는 다음과 같은 형태의 함수이다.

여기서 a, b, c실수인 상수이고 c는 0이 아니다. 이 함수는 카를 프리드리히 가우스의 이름을 따서 명명되었다. 가우스 함수의 그래프는 좌우대칭의 종 모양의 곡선으로 +/-의 극한을 향하면서는 급격히 감소하는 특성을 가진다. 매개변수 a는 곡선의 꼭대기 높이가 되며, b는 꼭대기의 중심의 위치가 된다. c표준 편차로서 "종"의 너비를 결정한다.

가우스 함수는 기댓값μ = b이고 분산σ2 = c2정규 분포확률 밀도 함수를 나타낼 때 주로 사용된다. 이 경우 가우스 함수는

와 같은 형태가 된다.[1]

가우스 함수는 통계학에서의 정규 분포나 신호 처리, 이미지 처리, 열 방정식의 해 등 여러 경우에 사용된다.

성질 편집

이차 함수지수 함수를 합성한 함수

 
는 가우스 함수이다. 여기서  ,  ,  이다. 따라서 가우스 함수는 로그를 취했을 때 아래로 볼록인 이차함수가 되는 함수이다.

매개변수 c는 함수의 반치전폭(FWHM)을 결정하며

 
이다. 반치전폭 w가 주어졌을 때 가우스 함수는
 
로 나타낼 수 있다. 함수의 최댓값의 1/10이 되는 두 독립변수들의 차이인 FWTM은 다음과 같다.
 

한편 가우스 함수는 x = b ± c에서 두 변곡점을 가진다. 또 가우스 함수는 해석 함수이며, x → ∞일 때 극한은 0으로 수렴한다.

가우스 함수는 초등함수이지만 그 부정적분은 초등함수로 나타내는 것이 불가능하며, 가우스 함수의 적분을 오차 함수라고 한다. 실직선 전체에서 가우스 함수의 이상 적분의 값은 아래와 같이 계산된다.

 
일반적인 경우에 대해서는 아래와 같다.
 
 
기댓값μ이고 분산σ2인 정규화된 가우스 함수 곡선. 각 매개변수는  , b = μ, c = σ이다.

 일 때 가우스 함수의 이상 적분 값은 1이 된다. 이 경우 가우스 함수는 기댓값이 μ = b이고 분산이 σ2 = c2정규 분포확률 밀도 함수가 되며, 식은 아래와 같다.

 
위의 그래프에는 각 μ, σ2에 대해 정규화된 가우스 함수가 나타나 있다.

두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이고, 두 가우스 함수의 합성곱도 여전히 가우스 함수이다. 이때 분산은 기존의 두 가우스 함수의 분산의 합과 같다. 반면 두 정규분포 가우스 함수의 곱은 일반적으로 정규분포 가우스 함수가 되지 않는다.

같이 보기 편집

각주 편집

  1. Squires, G. L. (2001년 8월 30일). 《Practical Physics》 4판. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9781139164498. ISBN 978-0-521-77940-1. 

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