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가우스 적분(Gaussian integral)은 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위의 이상적분으로, 그 값은 다음과 같다.

가우스 함수에 대한 일반적인 부정적분 함수는 초등 함수 범위에 있지 않고, 실수 전체 범위에 대한 이상적분은 아래의 방법들을 통해 구할 수 있다.

과정편집

극좌표 변환을 이용하는 경우편집

 를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같다.

 
 
 

그리고 같은 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같다.

 
 
 
 

따라서

 

그리고   가 실수일 때 항상 양수이기 때문에

 

가 성립한다.

직교좌표에서 계산하는 경우편집

직교좌표계에서 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 푸는 방법도 있다.[1] 함수    ×   에서 순서를 바꿔 가며 적분하는 것이다. 먼저 x부터 적분하는 경우,

 

반면, y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하고 풀면,

 

푸비니-토넬리 정리에 의해 이 두 적분값은 같으므로, 결국   를 얻고, 우함수의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.

함께보기편집

각주편집

  1. Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics, p.192.

참고 문헌편집

  • Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics