극좌표 변환을 이용하는 경우편집
를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같다.
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그리고 같은 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같다.
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따라서
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그리고 는 가 실수일 때 항상 양수이기 때문에
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가 성립한다.
직교좌표에서 계산하는 경우편집
직교좌표계에서 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 푸는 방법도 있다.[1] 함수 를 × 에서 순서를 바꿔 가며 적분하는 것이다. 먼저 x부터 적분하는 경우,
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반면, y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하고 풀면,
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푸비니-토넬리 정리에 의해 이 두 적분값은 같으므로, 결국 를 얻고, 우함수의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.