고립 특이점

복소해석학에서, 고립 특이점(孤立特異點, 영어: isolated singular point)은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 정칙 함수가 되는 특이점이다.

정의편집

연결 열린집합   및 점   및 함수  에 대하여,  정칙 함수가 되는 근방  이 존재한다면,   고립 특이점이라고 한다.

만약 0이  의 고립 특이점이라면, 무한대   고립 특이점이라고 한다.

분류편집

고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다.

구체적으로, 연결 열린집합   및 점   및 함수  가 주어졌고,   의 고립 특이점이라고 하자.

제거 가능 특이점편집

그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는   제거 가능 특이점이라고 한다.[1]:130, §4.2, 정리1

  •   에서 해석적 연속을 갖는다. 즉,  인 근방   및 정칙 함수  가 존재한다.
  •   에서 존재한다.
  •   에서 국소 유계 함수이다. 즉,  유계 함수가 되는 근방  이 존재한다.
  •  
  •   에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다.

극점편집

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는   극점이라고 한다.[1]:130-131, §4.2, 정리2

  •   에서 해석적 연속을 갖지 않으며,   에서 해석적 연속을 갖는다.
  •  
  •   에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.

본질적 특이점편집

또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는   본질적 특이점이라고 한다.[1]:132, §4.2, 정리3

  •    에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
  •   에서 존재하지 않는다.
  •   에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.

무한대의 경우편집

무한대   의 고립 특이점으로서의 분류는 0의  의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다.

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함수

 
 

는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다.

함수

 
 

는 0을 극점으로 갖는다.

함수

 
 

는 0을 본질적 특이점으로 갖는다.

0은 함수

 
 

의 고립 특이점이 아니다.

전해석 함수편집

모든 전해석 함수   를 고립 특이점으로 갖는다. 이는  상수 함수라면 제거 가능 특이점이며,  가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다.

각주편집

  1. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1. 

외부 링크편집