전해석 함수

복소해석학에서 전해석 함수(全解析函數, entire function) 또는 정함수(整函數, integral function)란 복소평면의 모든 점에서 해석적인 복소함수를 말한다. 전해석함수는 다항함수(polynomial)와 초월 전해석 함수(다항함수가 아닌 전해석 함수, transcendental entire function)로 구분할 수 있다.

정의

함수 $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ 가 복소 평면 $\mathbb {C}$ 위의 모든 점에서 해석적이면 $f$를 전해석 함수라고 한다. 그러므로 전해석 함수는 복소 평면 위의 모든 점에서 무한번 미분가능한 함수이고, 테일러 급수로 나타낼 수 있으며, 코시-리만 방정식을 만족하는 복소 함수이다.

전해석 함수를 급수로 나타냈을 때 유한 급수인 것이 다항 함수이고, 무한 급수로 나타나는 것이 초월 전해석 함수이다.

성질

리우빌 정리

 이 부분의 본문은 리우빌 정리 (복소해석학)입니다.

리우빌 정리에 따르면, 유계 함수인 전해석 함수는 상수 함수뿐이다. 유계(bounded)는 전해석함수의 중요한 특성을 나타내고 있다. 이 정리에 따라 상수함수가 아닌 전해석함수는 반드시 무한점, $\infty$를 특이점(singular point)으로 갖는다. 무한 특이점은 극점 또는 본질적 특이점(essential singularity)이며, 무한 특이점에서 극(극점)을 갖는 전해석 함수는 다항함수이고, 본질적 특이점을 갖는 함수는 초월 전해석 함수이다.

피카르의 정리

 이 부분의 본문은 피카르의 정리입니다.

피카르의 소정리에 따르면, 상수 함수가 아닌 전해석 함수는 하나 이하의 값을 제외한 모든 복소수 $c\in \mathbb {C}$를 함수값으로 취한다. 그렇지 않은 값이 있다면 그 수는 하나뿐이다. 즉 $f$ 가 상수 함수가 아닌 전해석 함수이면 모든 복소수 $c\in \mathbb {C}$에 대해 $f(z)=c$ 인 점 $z\in \mathbb {C}$가 존재하며 그렇지 않은 점 $c$는 기껏해야 하나뿐이라는 것이다. 예를 들어 $e^{z}=c$는 $c=0$ 인 경우를 제외하고 항상 해를 갖는다. 피카르의 소정리는 리우빌 정리보다 수학적으로 강한 의미를 갖는다.

예

$f(z)=1+2z-3z^{2}$는 다항함수이고, $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}$ 은 초월 전해석 함수이다. 둘 다 전해석 함수를 이룬다.

외부 링크

• “Entire function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.