곱셈 공식의 변형

곱셈 공식의 변형은 곱셈 공식의 식을 이항 및 정리, 부분전개 등을 통하여 변형한 식으로 어떠한 값을 쉽게 구하기 위해 사용하는 식을 말한다.

일반적인 곱셈 공식의 변형

다음은 대한민국의 2015년 개정 교육과정에서 쓰이는, 고등학교 1학년 수준의 곱셈 공식의 변형이다. (단, 2차식 내용의 일부는 중학교 3학년 과정이다.) 모든 공식에 복부호 동순이 적용된다.

2차식

• $\,a^{2}+b^{2}=(a\pm b)^{2}\mp 2ab$
• $\,(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab$
• $\,x^{2}+{1 \over x^{2}}=\left(x\pm {1 \over x}\right)^{2}\mp 2$
• $\,\left(x+{1 \over x}\right)^{2}-\left(x-{1 \over x}\right)^{2}=4$
• $\,a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)$
• $\,a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm ab\pm bc\pm ca={1 \over 2}\left\{(a\pm b)^{2}+(b\pm c)^{2}+(c\pm a)^{2}\right\}$

3차식

• $\,a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)$
• $\,x^{3}\pm {1 \over x^{3}}=\left(x\pm {1 \over x}\right)^{3}\mp 3\left(x\pm {1 \over x}\right)$
• $\,a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc$

※단, 여기서 $\,a+b+c=0$ 이면 $\,a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ 이다.

4차식

• $\,(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})=a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}$
• $\,(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1$
• $\,a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}$
• $\,a^{4}+b^{4}+c^{4}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2\left\{(ab+bc+ca)^{2}-2abc(a+b+c)\right\}$

5차식 이상

• $\,a^{5}+b^{5}=(a^{2}+b^{2})(a^{3}+b^{3})-a^{2}b^{2}(a+b)$
• $\,a^{6}+b^{6}=(a^{3}+b^{3})^{2}-2a^{3}b^{3}$
• $\,a^{7}+b^{7}=(a^{3}+b^{3})(a^{4}+b^{4})-a^{3}b^{3}(a+b)$

※ 자연수인 $\,n$에 대하여, $\,a^{n}+b^{n}$은 다음과 같이 구한다. (단, $\,k={1 \over 2}n$ 로 정의한다.)
  $\,n$이 짝수일 때, $\,a^{n}+b^{n}=(a^{k}+b^{k})^{2}-2a^{k}b^{k}$
  $\,n$이 홀수일 때, $\,a^{n}+b^{n}=(a^{p}+b^{p})(a^{q}+b^{q})-a^{p}b^{p}(a+b)$ (단, $\,p=k-0.5$ , $\,q=k+0.5$ 으로 정의한다.)

함께 보기

• 곱셈 공식
• 인수 분해