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수론에서 과잉수(過剩數)는 자연수 중에서 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신보다 더 커지는 수이다. 예를 들어, 20의 진약수의 합은 1+2+4+5+10=22>20으로 원래의 수 20보다 더 크기 때문에 20은 과잉수가 된다. 과잉수는 무수히 많이 있으며 과잉수 중 가장 작은 수는 12이다. 특이하게도 이는 진약수의 일부의 합에 따라 반완전수기묘수로 분류할 수 있다고 한다. 진약수의 일부의 합으로 자기자신이 된다면 '반완전수' (semiperfect nunber) , 그렇지 못하면 즉 과잉수 중에서 진약수, 일부의 합으로도 자기자신과 똑같아 만들어낼 수 없으면 '기묘수' (weird number) 이다. 사실 과잉수 중 괴짜수 즉 다시 말해 반완전수가 아닌 과잉수를 찾는 게 더 어렵다고 한다. 10000 미만의 수 중에서 과잉수는 총 2491개가 있는데, 기묘수는 이들 중에선 고작 7개 밖에 없기 때문이다. 가장 작은 기묘수는 70이다. 또한 진약수가 모두 부족수이어서 다른 과잉수 또는 완전수자기자신이 아닌 배수로 표기될 수 없는 과잉수는 'primitive abandent number'라고 한다. 마찬가지로, 다른 반완전수자기자신이 아닌 배수로 표기될 수 없지만, 특정 과잉수의 일부의 합이 자기자신이 된다면는 해당 반완전수는 'primitive semi perfect number' 이다. 마찬가지로 진약수가 모두 부족수이어서 다른 괴짜수의 배수의 형식으로 표기될 수 없는 괴짜수는 'primitive weird number'이라고 하며, 1000000 이하의 수 중 단지 24개 존재한다. 그러나 n이 기묘수인 경우 특 정 괴짜수의 약수의 합보다 더 큰 소수와 n의 곱 역시 괴짜수가 된다는 성질 때문에 10000 이상에서는 갑자기 149 이상의 소수와 최소의 기묘수 70의 곱으로 인해 괴짜수가 나타나는 빈도가 높아지게 되는 것이다.

과잉수를 작은 것부터 나열하면

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, ...

이다(OEIS의 수열 A005101).

특징편집

  • 가장 작은 홀수인 과잉수945이다. 한 가지 특이한 점은 945부터 5355까지는 서로 차가 630인 수열을 이룬다. 과잉수의 배수는 언제나 과잉수이므로 짝수 과잉수도 홀수 과잉수도 무수히 많이 있다. 진약수의 일부를 더해서 자기자신이 될 수 있으면 반완전수(samiperfect nunber)이고, 그렇지 못하면 기묘수(wired number)가 된다. 945는 가장 작은 홀수 반완전수이기도 하다.
  • 자연수 중 과잉수의 점근 밀도(Asymptotic Density)는 평균 0.2474에서 0.2480 사이로 알려져 있으므로 아무리 많아도 26%를 넘지 않는다. 하지만 6을 제외한 6의 배수는 모두 과잉수이므로 모두 18% 초과의 비율이라는 것을 알 수 있다.
  • 20161보다 큰 모든 정수는 2개의 과잉수의 합으로 표현될 수 있다. (2개의 과잉수의 합으로 표현되지 않는 자연수는 모두 1456개이다.)
  • 어떤 수의 진약수의 합이 그 어떤 수보다 1만큼 커지는 과잉수를 준완전수라고 한다. 이 준완전수는 지금까지 하나도 발견되지 않았다. 또한 준완전수가 존재하지 않는다는 명제도 아직까지 증명되지 않았다.(사이먼 싱 저 페르마의 마지막 정리 한국어 번역본 33쪽) 간혹, 어떤 자연수의 진약수의 합이 자기 자신과 비슷할 경우 그 자연수를 준완전수라고 칭하기도 한다.
  • 과잉수는 모두 합성수이며, 모든 소수는 진약수가 1 밖에 없어서 부족수이고, 1도 진약수가 없기 때문에 부족수이다. 그러나 합성수인 부족수도 아주 많이 있으며, 두 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 임의의 자연수 n에 대하여 (서로 같은 소수예도 상관없다) 약수가 n개인 과잉수는 개수가 한정되어 있다. 또한 세 개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있는 임의의 자연수 n애 대하여 약수가 n개인 과잉수는 무수히 많이 있다. 특이한 점은 약수가 4개인 과잉수는 없고, 약수가 소수개인 과잉수는 소인수가 단 하나밖에 없기 때문에 그러헌 과잉수는 존재하자 않는다. 그래도 약수가 세 개 이상의 소수 (수론)를 곱해져서 만들 수 있는 합성수인 자연수만큼이면 무수히 많이 있다.

같이 보기편집