점근 밀도

정수론에서 점근 밀도(Asymptotic Density 또는 Natural density 또는 arithmetic density)란, 자연수의 부분집합이 얼마나 큰지를 측정하는 척도이다.

직관적으로 완전 제곱수보다는 자연수가 "더 많다". 두 집합은 물론 일대일 대응을 통해 무한하고 가산임을 확인할 수 있으므로 실제로 더 큰 것은 아니다. 그러나 이러한 직관적 관찰을 좀 엄밀히 만들 필요가 있다.

정의편집

자연수의 부분집합  가 주어져 있을 때,  의 원소 중,   이하의 값들의 개수를   라고 하면,  이 무한대로 갈 때, 극한값

 

이 존재하면 점근밀도  를 갖는다고 말한다.

위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도편집

위에서 쓰인 기호를 토대로 위쪽 점근 밀도(upper asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

이때 lim sup은 상극한(limit superior)이다.

마찬가지로 아래쪽 점근 밀도(lower asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

만약 이 두 극한이 일치한다면, 즉   이라면, 이 값을 점근 밀도  라고 부를 수 있다.

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  • 어떤 집합  에서 점근 밀도  가 존재한다면 그 여집합의 점근 밀도는  가 된다.
  • 당연히  이다.
  • 임의의 유한 집합  에 대해서  이다.
  • 완전 제곱수의 점근 밀도는 영이다.
  • 짝수 집합의 점근밀도는 1/2이다. 마찬가지로 임의의 등차수열  에 대해,  임을 알 수 있다.
  • 소수 집합  소수 정리에 의해  임을 알 수 있다.
  • 제곱수로 나누어지지 않는 수(Square-free integer)의 점근밀도는  이다.
  • 과잉수(abundant numbers)의 점근밀도는 0.2474와 0.2480 사이의 값을 갖는다고 알려져 있다.