주 메뉴 열기

환론에서, 교환자(交換子, 영어: commutator)와 반교환자(反交換子, 영어: anticommutator)는 두 원소 사이의 (반)교환 법칙이 실패하는 정도를 측정하는 이항 연산이다. 교환자의 기호는 이며, 반교환자의 기호는 이다.

목차

정의편집

 의 두 원소  가 주어졌다고 하자. 그 교환자는 다음과 같다.

 

반교환자는 다음과 같다.

 

만약  표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신

 

가 사용되기도 한다.

등급 대수편집

가환환   위의 자연수 등급 대수

 

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 등급 교환자(等級交換子, 영어: graded commutator)를 정의할 수 있다.

 

이 연산은 간혹 대신  로 표기되기도 한다.

성질편집

교환자는 다음과 같은 성질을 가진다.

정의에 따라, 임의의 환  의 두 원소  에 대하여,  가 성립할 필요 충분 조건 인 것이다. 마찬가지로, 임의의 두 원소  에 대하여,  가 성립할 필요 충분 조건 인 것이다.

선형성편집

  위의 결합 대수   위의 교환자와 반교환자는  -겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은  -가군 준동형을 정의한다.

 
 

특히, 임의의  에 대하여  -가군 준동형

 
 

이 존재한다. 특히,  의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다.

리 대수 구조편집

교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

  •  
  •  
  • (야코비 항등식)  

이에 따라, 가환환   위의  -결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는  -리 대수를 이룬다.

반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.

미분 대수 구조편집

교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.

  • (곱의 법칙)  
  • (곱의 법칙)  

이에 따라, 임의의 원소  에 대하여   (또는  )를 부여하면  미분 대수를 이룬다.

기타 항등식편집

이 밖에도 다음 항등식이 성립한다.

  •  
  •  
  •  

작용소의 경우편집

힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다.

 

응용편집

힐베르트 공간에서의 두 연산자에 대한 교환자는 양자역학에서 중요한 개념중의 하나인데, 연산자로 기술되는 두 관측가능량이 동시에 측정 가능한지를 알려주는 척도이기 때문이다. 불확정성 원리는 이런 교환자에 대한 성질을 물리학적으로 해석한다.

참고 문헌편집

  • Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X
  • Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, ISBN 0-8053-8714-5

외부 링크편집