환 
의 두 원소 
가 주어졌다고 하자. 그 교환자는 다음과 같다.
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a8c0bddd6519f6a229f659bb91247eda919dc8)
그 반교환자는 다음과 같다.
만약 의 표수가 2 또는 1이라면 교환자와 반교환자는 일치한다. 만약 교환자와 반교환자를 동등하게 다루어야 하는 경우, 간혹 위 기호 대신
![{\displaystyle [a,b]_{\pm }=ab\pm ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/338595ede827cbc2882a1a92a475a7391aabb8e0)
가 사용되기도 한다.
등급 대수편집
가환환 
위의 자연수 등급 대수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 등급 교환자(等級交換子, 영어: graded commutator)를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle [a,b]_{\text{gr}}=ab-(-1)^{\deg a\deg b}ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea24a7b53f195af39710dde7caf25164c80a1c0)
이 연산은 간혹 대신 
로 표기되기도 한다.
교환자는 다음과 같은 성질을 가진다.
정의에 따라, 임의의 환 의 두 원소 
에 대하여, 
가 성립할 필요 충분 조건은 ![{\displaystyle [r,s]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7abfd0b945911d574f396df5fcbf20b56da054c)
인 것이다. 마찬가지로, 임의의 두 원소 에 대하여, 
가 성립할 필요 충분 조건은 
인 것이다.
환 위의 결합 대수 위의 교환자와 반교환자는 -겹선형 변환을 이룬다. 즉, (반)교환자는 다음과 같은 -가군 준동형을 정의한다.
![{\displaystyle [,]\colon R\otimes _{K}R\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24206ca3a629829d76ab93d4707c76e29c313114)
특히, 임의의 
에 대하여 -가군 준동형
![{\displaystyle [a,-]\colon R\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4820a8b5a9e0fed4375f02bf13b62453ab74461)
이 존재한다. 특히, ![{\displaystyle [a,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40efade9066a9198ae28a33b634b59dbe93ff89)
의 경우 이는 교환자로 정의되는 리 대수 구조의 딸림표현이다.
리 대수 구조편집
교환자는 리 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle [r,r]=0\qquad \forall r\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37be27e1f609fe8ed0d422a39faa4672b54593e)
![{\displaystyle [r,s]=-[B,A]\qquad \forall r,s\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec68e8147aec01cae05fc0518414a34f3751a0f)
- (야코비 항등식)
![{\displaystyle [r,[s,t]]+[s,[t,r]]+[t,[r,s]]=0\qquad \forall r,s\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9f1028cc8b2abc6d2d290d002d85b13d1f7ac1)
이에 따라, 가환환 위의 -결합 대수가 주어졌을 때, 만약 곱 구조를 잊고 대신 교환자를 부여하면, 이는 -리 대수를 이룬다.
반대로, 임의의 리 대수가 주어졌을 때, 그 리 괄호는 리 대수의 보편 포락 대수의 교환자로 표현된다.
미분 대수 구조편집
교환자는 미분 대수의 연산을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
- (곱 규칙)
![{\displaystyle [r,st]=[r,s]t+s[r,t]\qquad \forall r,s,t\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa5714d91580f6dbbcd0c12057364f4e439ba55)
- (곱 규칙)
![{\displaystyle [rs,t]=r[s,t]+[r,t]s\qquad \forall r,s,t\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eea11b1e459eeae4e762410e747ff237f24e9d3)
이에 따라, 임의의 원소 에 대하여 ![{\displaystyle [r,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a5fb255489263acb1707fae2cc6dfd51fc632b)
(또는 ![{\displaystyle [-,r]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8babb5f7770a06749e4d4da6a537406cff87ce)
)를 부여하면 는 미분 대수를 이룬다.
기타 항등식편집
이 밖에도 다음 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle [r,st]=[rs,t]+[ts,r]\qquad \forall r,s,t\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97aa0394cc6c254bf162441667a570f4676e3a1)
![{\displaystyle [rst,u]=rs[t,u]+r[s,u]t+[r,u]st\qquad \forall r,s,t,u\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d944beac42fa9ccce5650fd869df6073666f8b5)
![{\displaystyle [[[r,s],t],u]+[[[s,t],u],r]+[[[t,u],r],s]+[[[u,r],s],t]=[[r,t],[s,u]]\qquad \forall r,s,t,u\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461eae666a4e09938cbb44482a925c0c2837b0fd)
작용소의 경우편집
힐베르트 공간 위의 유계 작용소들의 환에서는 다음과 같은 베이커-캠벨-하우스도르프 공식이 성립한다.
![{\displaystyle \exp(A)B\exp(-A)=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0261c12fa688181c831f267690dbe1c9453b38e6)
![[-,-]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba9b4dfaeae181a7a507d66e1b54fb640a7c61d)
