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그래프의 3개의 색으로의 색칠. 이 그래프는 2개의 색으로 색칠할 수 없으며, 따라서 이 그래프의 색칠수는 3이다.

그래프 이론에서, 그래프 색칠(graph色漆, 영어: graph colo(u)ring)은 그래프의 꼭지점들에, 같은 색이 인접하지 않도록 색을 부여하는 방법이다. 이를 사용하여 그래프의 불변량을 정의할 수 있다.

정의편집

(단순) 그래프  색칠  은 집합   및 함수  의 순서쌍이다. 이 경우, 임의의 변  에 대하여  이어야만 한다. 색칠  에서,  의 원소를 (色, 영어: colo(u)r)이라고 한다.

그래프  의 두 색칠  ,  이 주어졌을 때, 만약 전단사 함수  가 존재하여  인 경우, 두 색칠이 서로 동형이라고 한다.

그래프  변 색칠(邊色漆, 영어: edge colo(u)ring)은  선 그래프  의 색칠이다. 평면 그래프  면 색칠(面色漆, 영어: face colo(u)ring)은 그 쌍대 그래프(영어: dual graph)  의 색칠이다.

색칠 다항식과 색칠수편집

 
이 그래프  의 경우  이다.

그래프  에서, 색  을 공역으로 하는 색칠의 수를  라고 쓰자. (이 경우, 서로 동형인 색칠들도 중복하여 센다.) 만약  가 유한 그래프일 경우, 이는  에 대하여 다항식을 이루며, 이를  색칠 다항식(영어: chromatic polynomial)이라고 한다. 그래프  색칠수(色漆數, 영어: chromatic number)  는 색칠이 존재하는 최소의 정수이다.

 

마찬가지로, 변 색칠 다항식 · 변 색칠수 따위를 정의할 수 있다. 변 색칠수는 색칠 지표(영어: chromatic index)라고도 하며,  로 쓴다.

성질편집

(단순) 유한 그래프  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치다.

  •  
  •   ( )
  •  이며  

(단순) 그래프  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

  •  
  •  이분 그래프이다.

모든 (단순) 유한 그래프  에 대하여, 다음이 성립한다.

  •  
  •  
  •  

여기서   의 최대 클릭의 크기이며,   의 꼭짓점들의 차수들의 최댓값이다. 브룩스의 정리(영어: Brooks’ theorem)에 따르면, 임의의 연결 유한 그래프  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  이다.
  •  완벽 그래프이거나 홀수 크기의 순환 그래프이다.

4색정리에 따르면, 모든 유한 평면 그래프  에 대하여

 

이다. 그뢰치의 정리(영어: Grötzsch’s theorem)에 따르면, 크기가 3인 순환을 갖지 않는 유한 평면 그래프  에 대하여

 

이다.

색칠 다항식의 성질편집

 개의 꼭짓점을 갖는 그래프의 색칠 다항식은  차 다항식이다.

(단순) 유한 그래프  에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

  •  
  •   개의 꼭짓점을 갖는 나무이다.

(단순) 유한 그래프  에 대하여, 다음 두 조건이 동치다.

  •  
  •  는 크기  순환 그래프  이다.
 
색칠 다항식이  인 그래프

두 그래프의 색칠 다항식이 같을 경우, 이들이 색칠 동치(영어: chromatically equivalent)라고 한다. 서로 동형이 아닌 두 그래프가 색칠 동치일 수 있다. 예를 들어, 꼭짓점의 수가 같지만 서로 동형이 아닌 두 나무는 색칠 동치이다. 또한, 색칠 다항식이  인 그래프는 총 3개가 있다.

연결 성분  으로 구성된 그래프의 색칠 다항식은 다음과 같다.

 

(단순) 그래프   에 대하여,   에서 변  를 제거한 그래프,   에서 변  를 제거하고   를 합친 그래프라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

 

즉, 이를 사용하여 색칠 다항식을 재귀적으로 계산할 수 있다.

알고리즘편집

임의의 그래프에 대하여  -색칠이 존재하는지 여부는 NP-완전 결정 문제다. 이는 리처드 카프1972년에 보인 21개의 NP-완전 문제 중의 하나이다.

임의의 그래프  에 대하여,  -색칠은 항상 존재하며, 탐욕 알고리즘으로 쉽게 찾을 수 있다.

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일부 그래프의 색칠 다항식 및 색칠수는 다음과 같다.

다항식 색칠 다항식 색칠수
변이 없는 그래프     1
완전 그래프      
 개의 꼭짓점을 갖는 나무   2
순환 그래프     2 (  짝수), 3 (  홀수)
페테르센 그래프   3

응용편집

그래프 색칠 문제는 컴파일러에서 프로세서 레지스터를 할당하는 문제, 무선 기지국 사이에서 간섭을 없애기 위한 주파수 할당 문제 등에 응용된다.

스도쿠 역시 일종의 그래프 색칠 문제이다. 이 경우, 9×9 격자의 각 행·각 열·각 3×3 부분격자는 클릭을 이루며, 스도쿠는 주어진 부분적 9-색칠을 완성시키는 문제이다.

외부 링크편집

같이 보기편집