선 그래프
그래프 이론에서, 선 그래프(線graph, 영어: line graph)는 어떤 그래프의 변들을 꼭짓점으로 삼고, 원래 그래프의 변의 인접 여부를 변으로 삼는 그래프이다. 끝을 선으로 연결한 그래프는 꺾은선 그래프라고 한다.
정의편집
(무향 단순) 그래프 의 선 그래프 는 다음과 같은 그래프이다.
성질편집
연결 성분 을 갖는 그래프의 선 그래프는 다음과 같다.
휘트니 정리(영어: Whitney theorem)에 따르면, 임의의 두 연결 그래프 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이는 해슬러 휘트니가 증명하였다.
선 그래프의 유도 부분 그래프로 존재할 수 없는 9개의 그래프
임의의 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.[1][2]
- 인 그래프 이 존재한다.
- 는 9개의 특별한 그래프들을 유도 부분 그래프로 포함하지 않는다 (그림 참조).
선 그래프의 반복편집
유한 연결 그래프 에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.
- 는 순환 그래프 이다 ( ).
임의의 유한 연결 그래프 에 대하여, 그래프의 열
은 다음 네 가지 가운데 하나의 현상을 보인다.[3]
- 만약 가 순환 그래프라면 이는 항등열이다.
- 만약 가 완전 이분 그래프 라면 이다.
- 만약 가 경로 그래프 이라면 이므로 결국 공 그래프 이 된다.
- 가 순환 그래프나 경로 그래프 또는 가 아니라면, 와 는 무한대로 발산한다.
연결 그래프가 아닌 경우, 각 연결 성분에 위 분류가 적용된다.
예편집
예를 들어 아래 그래프 의 선 그래프 는 아래와 같다.
참고 문헌편집
- ↑ Beineke, L. W. (1968). 〈Derived graphs of digraphs〉. H. Sachs, H.-J. Voss, H.-J. Walter. 《Beiträge zur Graphentheorie》 (영어). Leipzig: Teubner. 17–33쪽.
- ↑ Beineke, L. W. (1970). “Characterizations of derived graphs”. 《Journal of Combinatorial Theory》 (영어) 9 (2): 129–135. doi:10.1016/S0021-9800(70)80019-9. MR 0262097.
- ↑ van Rooij, A. C. M.; Herbert Wilf (1965). “The interchange graph of a finite graph”. 《Acta Mathematica Hungarica》 (영어) 16 (3–4): 263–269. doi:10.1007/BF01904834.
외부 링크편집
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Line graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.