집합론에서, 극한 기수(極限基數, 영어: limit cardinal)는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 기수이다.

정의편집

기수  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수극한 기수라고 한다.

  •  인 기수  가 존재하지 않는다.
  •  이거나, 다음 조건을 만족한다.
    •   번째로 작은 무한 기수이다. 즉, 순서수 모임에서 무한 기수 모임으로 가는 순서 동형  고정점이다. 즉,  이다.

극한 기수가 아닌 기수를 따름 기수(따름基數, 영어: successor cardinal)라고 한다. (일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

기수  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수강극한 기수(強極限基數, 영어: strong limit cardinal)라고 한다.

  • 모든 기수  에 대하여,  
  •  이거나,  이거나,  이다.

(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

성질편집

임의의 순서수  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  •  극한 순서수이다.
  •  는 극한 기수이다. ( 알레프 수)
  •  는 강극한 기수이다. ( 베트 수)

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

만약 선택 공리가 성립한다면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다.

편집

가산 극한 기수는 0과   밖에 없다. 이들은 둘 다 강극한 기수이다.

최소의 비가산 극한 기수는  이며, 최소의 비가산 강극한 기수는  이다.

같이 보기편집