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공종도

(정칙 기수에서 넘어옴)

정의편집

임의의 원순서 집합  에 대하여,  공종도   공종 집합들의 크기들의 최솟값이다.[1]:198, §1 마찬가지로,  공시작도   공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다.

순서수의 공종도편집

정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수  공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는  의 공종도와 일치한다.[2]:32, Definition I.10.30

기수의 공종도편집

기수  공종도  는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수  의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.

 

즉,  를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

순서수  에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 정칙 기수(正則基數, 영어: regular cardinal)라고 한다.

  • 공종도 함수의 고정점이다. 즉,  이다.[1]:198, §1[2]:33, Definition I.10.34
  • 임의의 순서수들의 집합  에 대하여,  라면 (즉,  공종 집합이라면)   와 순서 동형이다.
  •  기수이며,  이며,  개 미만의,   미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합  에 대하여  라면  이거나,   가 존재한다. (여기서  은 기수의 합이다.)
  •  기수이며, 크기  미만인 집합들의 범주  는 크기   미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다.

(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.) 만약  라면,  특이 기수(特異基數, 영어: singular cardinal)라고 한다.  는 불가능하다.

성질편집

공종도 함수는 멱등 함수이다.[2]:33, Corollary I.10.33 즉, 모든 순서수  에 대하여

 

이다. 즉,  는 항상 정칙 기수이다.

임의의 순서수  에 대하여 다음이 성립한다.

 

이는   전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수  에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)

 

1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

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유한 순서수편집

임의의 양의 자연수  의 경우, (따름 순서수이므로)  이다. 0의 경우  이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수  에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

  •  
  •  

따름 순서수편집

임의의 순서수  에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

  •  
  •  따름 순서수이다.

이는   공종 집합이기 때문이다.

극한 순서수편집

임의의 극한 순서수  에 대하여,

 

이므로

 

이다.

 이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수  에 대하여

 

이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는  이며,

 

이다. 반면

 

이므로,

 

이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서   보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.

  •  
  • 임의의 순서수  에 대하여,  
  • 임의의 기수  에 대하여,  

정렬 전순서 집합이 아닌 경우편집

실수의 전순서 집합  의 공종도는  이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합   공종 집합이기 때문이다.

확장된 실수전순서 집합  의 공종도는 1이다. 이는  최대 원소  를 갖기 때문이다.

집합  의 진부분 집합들의 멱집합  의 공종도는  이다. 이는 공종 집합

 

이 최소의 공종 집합이기 때문이다.

닫힌 원순서 집합  의 공종도는  극대 원소들의 동치류들의 수이다.

참고 문헌편집

  1. Shelah, Saharon (1992년 4월). “Cardinal arithmetic for skeptics”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 26 (2): 197–210. arXiv:math/9201251. Bibcode:1992math......1251S. doi:10.1090/S0273-0979-1992-00261-6. ISSN 0273-0979. MR 1112424. 
  2. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 9월 12일에 확인함. 

외부 링크편집