기본 동치
모형 이론에서 기본 동치(基本同値, 영어: elementary equivalence)는 두 구조가 같은 1차 논리 문장들을 만족시키는 관계이다.
정의 편집
같은 언어의 구조 , 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립하면 과 이 서로 기본 동치라고 한다.
(문장이란 자유 변수를 포함하지 않는 공식을 의미한다.)
같은 언어에 대한 구조 과 사이의 기본 매장(基本埋藏, 영어: elementary embedding)은 다음 성질을 만족시키는 함수
이다.
- 개의 자유 변수 를 갖는 임의의 1차 논리 공식 및 임의의 에 대하여, 만약 라면 이다.
만약 이고 부분 집합 포함 함수가 기본 매장을 이룬다면, 이 의 기본 부분 구조(基本部分構造, 영어: elementary substructure)라고 한다.
성질 편집
구조의 기본 동치는 동치 관계이다.
기본 매장은 다음 성질들을 만족시킨다.
같은 언어에 대한 두 구조 , 에 대하여, 이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 은 의 기본 부분 구조이다.
- (타르스키-보트 조건 영어: Tarski–Vaught criterion) 임의의 개 자유 변수를 갖는 1차 논리 공식 및 에 대하여, 인 이 존재한다.
예 편집
워시 정리에 따라, 어떤 모형 과 그 초거듭제곱 은 서로 기본 동치이다.
하나의 이항 관계 의 구조로서, 유리수의 집합 및 실수의 집합 는 서로 기본 동치이다. 그러나 이들은 순서체의 언어 의 구조로는 서로 기본 동치가 아니다.
외부 링크 편집
- “Elementary embedding”. 《nLab》 (영어).
- “Elementary equivalence”. 《nLab》 (영어).
- “Fraïssé characterization of elementary equivalence”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Keisler-Shelah isomorphism theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.